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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:19 Mo 24.11.2008 | | Autor: | JMW |
| Aufgabe | | Integrieren Sie f(x)= [mm] \bruch{sinx - cosx}{sinx + cos x} [/mm] |
Ich habe sin x durch [mm] \bruch{2t}{1+t²}, [/mm] cos x durch [mm] \bruch{1-t²}{1+t} [/mm] und dx durch [mm] \bruch{2dt}{1+t²} [/mm] substituiert.
Das resultierende Integral lautet dann:
[mm] -2*\integral_{}^{}{ \bruch{t^4-2t²-2t+1}{t^4-2t²-2t-1}dt}
[/mm]
Der nächste Schritt wäre Partialbruchzerlegung. Geht es hier auch anders?
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Hallo JMW,
> Integrieren Sie f(x)= [mm]\bruch{sinx - cosx}{sinx + cos x}[/mm]
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> Ich habe sin x durch [mm]\bruch{2t}{1+t²},[/mm] cos x durch
> [mm]\bruch{1-t²}{1+t}[/mm] und dx durch [mm]\bruch{2dt}{1+t²}[/mm]
> substituiert.
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> Das resultierende Integral lautet dann:
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> [mm]-2*\integral_{}^{}{ \bruch{t^4-2t²-2t+1}{t^4-2t²-2t-1}dt}[/mm]
Puuhh ... 
>
> Der nächste Schritt wäre Partialbruchzerlegung. Geht es
> hier auch anders?
Ja, viel besser
Im Zähler steht ja bis auf das Vorzeichen die Ableitung des Nenners, also schreibe das Integral:
[mm] $\int{\bruch{sin(x) - cos(x)}{sin(x) + cos(x)} \ dx}=-\int{\bruch{\cos(x)-sin(x)}{sin(x) + cos(x)} \ dx}$
[/mm]
Das ist nun ein logarithmisches Integral, also von der Bauart [mm] $\int{\frac{f'(x)}{f(x)} \ dx}$
[/mm]
Das hat bekanntermaßen (?) die Stammfunktion [mm] $\ln|f(x)| [/mm] \ + \ c$
Wenn du's per Hand rechnen willst (ohne die Kenntnis des logarithm. Integrals), substuiere den Nenner, also [mm] $u:=\sin(x)+\cos(x)$
[/mm]
Dann geht's ratz fatz
LG
schachuzipus
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Werds mit der Substitution machen 