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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:45 Di 15.03.2005 | | Autor: | Smilodon |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Ich hab einige Aufgaben aus unserem Buch bearbeitet und möchte nun wissen ob meine Lösungen die richtigen sind und falls nicht wo der Fehler steckt.
1.
[mm] \integral_{0}^{ \wurzel{3}} {\bruch{x}{\wurzel{7-x^2}}\ dx} \qquad mit\ z = 7-x^2, \quad z'= -2x, \quad dx = \bruch{dz}{-2x}[/mm]
[mm]=\integral_{0}^{ \wurzel{3}} {\bruch{x}{\wurzel{z}}*\bruch{dz}{-2x}} [/mm]
[mm]=\integral_{0}^{ \wurzel{3}} {-\bruch{1}{2}*\wurzel{z}\ dz}[/mm]
[mm]=\left[ -\wurzel{z}+c \right]_{0}^{ \wurzel{3}}[/mm]
[mm]=\left[ -\wurzel{7-x^2}+c \right]_{0}^{ \wurzel{3}}[/mm]
Hierbei müsste mir einer noch erklären wo die 1/2 hin sind, aus unserem Buch bin ich da nicht so richtig schlau geworden
2.
[mm] \integral_{0}^{\pi} {x*sinx\ dx}\qquad mit\ u=-\cos x,\ u'=\sin x,\ v=x,\ v'=1[/mm]
[mm]=\sin x*x-\integral_{0}^{\pi} {-\cos x\ dx}[/mm]
[mm]=\sin x*x+\sin x+c[/mm]
3.
[mm]\integral {4*\cos (2x+\pi)\ dx} \qquad z=2x+\pi,\ z'=2[/mm]
[mm]=4*\integral {\cos z*\bruch{dz}{2}}[/mm]
[mm]=2*\integral {\cos z\ dz}[/mm]
[mm]=\left[2*\sin z+c\right] \ = 2*\sin (2x+\pi)+c[/mm]
MuPAD hat higegen [mm]-2*\sin (2x+\pi)[/mm] ausgerechnet, wer hat recht?
4.
[mm]\integral {3x^2*\cos (x+\bruch{\pi}{4})\ dx}[/mm]
Das ist mir gar nicht gelungen weil ich keinen Ansatz finden kann.
5.
[mm]\integral {\wurzel{a+b*x}\ dx} \qquad mit\ z=a-b*x,\ z'=-b[/mm]
[mm]=\integral {\bruch{\wurzel{z}}{-b}\ dz}[/mm]
[mm]=\integral {-\bruch{z^\bruch{1}{2}}{b}[/mm]
[mm]=-\bruch{2*z^\bruch{3}{2}}{3b}[/mm]
[mm]=-\bruch{2*(a-bx)^\bruch{3}{2}}{3b}+c[/mm]
6.
[mm]\integral {\sin x*\cos x\ dx} \qquad mit\ z=\sin x,\ z'=\cos x[/mm]
[mm]=\integral {z* \bruch{\cos x}{\cos x} \ dz}[/mm]
[mm]=\bruch{1}{2}z^2+c\ =\ \bruch{1}{2}\sin^2 x+c[/mm]
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:46 Di 15.03.2005 | | Autor: | Max |
Hallo,
> Ich hab einige Aufgaben aus unserem Buch bearbeitet und
> möchte nun wissen ob meine Lösungen die richtigen sind und
> falls nicht wo der Fehler steckt.
Sehr löblich! ![[lehrer]](/images/smileys/lehrer.gif "[lehrer]")
> 1.
> [mm]\integral_{0}^{ \wurzel{3}} {\bruch{x}{\wurzel{7-x^2}}\ dx} \qquad mit\ z = 7-x^2, \quad z'= -2x, \quad dx = \bruch{dz}{-2x}[/mm]
>
> [mm]=\integral_{0}^{ \wurzel{3}} {\bruch{x}{\wurzel{z}}*\bruch{dz}{-2x}}[/mm]
>
> [mm]=\integral_{0}^{ \wurzel{3}} {-\bruch{1}{2}*\wurzel{z}\ dz}[/mm]
>
> [mm]=\left[ -\wurzel{z}+c \right]_{0}^{ \wurzel{3}}[/mm]
> [mm]=\left[ -\wurzel{7-x^2}+c \right]_{0}^{ \wurzel{3}}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
>
>
> Hierbei müsste mir einer noch erklären wo die 1/2 hin sind,
> aus unserem Buch bin ich da nicht so richtig schlau
> geworden
$$\frac{x}{\sqrt{z}}\frac{dz}{-2x}=-\frac{1}{2\sqrt{z}}dz=-\frac{1}{2}z^{-\frac{1}{2}}dz \Rightarrow F(z)=-z^{\frac{1}{2}=-\sqrt{z}$$
>
> 2.
> [mm]\integral_{0}^{\pi} {x*sinx\ dx}\qquad mit\ u=-\cos x,\ u'=\sin x,\ v=x,\ v'=1[/mm]
>
> [mm]=\sin x*x-\integral_{0}^{\pi} {-\cos x\ dx}[/mm]
> [mm]=\sin x*x+\sin x+c[/mm]
Das hier ist falsch, außerdem ist mir nicht klar, was jetzt der tatsächliche Integrand ist [mm] $x\cdot \sin(x)$ [/mm] oder [mm] $x\cdot \cos(x)$?
[/mm]
> 3.
> [mm]\integral {4*\cos (2x+\pi)\ dx} \qquad z=2x+\pi,\ z'=2[/mm]
>
> [mm]=4*\integral {\cos z*\bruch{dz}{2}}[/mm]
> [mm]=2*\integral {\cos z\ dz}[/mm]
>
> [mm]=\left[2*\sin z+c\right] \ = 2*\sin (2x+\pi)+c[/mm]
>
> MuPAD hat higegen [mm]-2*\sin (2x+\pi)[/mm] ausgerechnet, wer hat
> recht?
MuPAD hat recht  Allerdings gibt MuPAD sicherlich [mm] $-2\sin(2x)$ [/mm] aus. Wegen [mm] $\sin(x+\pi)=-\sin(x)$ [/mm] gilt dann, dass du auch Recht hast!!!
> 4.
> [mm]\integral {3x^2*\cos (x+\bruch{\pi}{4})\ dx}[/mm]
>
> Das ist mir gar nicht gelungen weil ich keinen Ansatz
> finden kann.
Naja, du hast ja vorher mit partieller Integration gearbeitet, hier ist das wiederum der Weg zur Lösung....
> 5.
> [mm]\integral {\wurzel{a+b*x}\ dx} \qquad mit\ z=a-b*x,\ z'=-b[/mm]
>
> [mm]=\integral {\bruch{\wurzel{z}}{-b}\ dz}[/mm]
> [mm]=\integral {-\bruch{z^\bruch{1}{2}}{b}[/mm]
>
> [mm]=-\bruch{2*z^\bruch{3}{2}}{3b}[/mm]
> [mm]=-\bruch{2*(a-bx)^\bruch{3}{2}}{3b}+c[/mm]
Ich denke du meinest [mm]=-\bruch{2*(a+bx)^\bruch{3}{2}}{3b}+c[/mm]. Ansonsten alles richtig.
> 6.
> [mm]\integral {\sin x*\cos x\ dx} \qquad mit\ z=\sin x,\ z'=\cos x[/mm]
>
> [mm]=\integral {z* \bruch{\cos x}{\cos x} \ dz}[/mm]
>
> [mm]=\bruch{1}{2}z^2+c\ =\ \bruch{1}{2}\sin^2 x+c[/mm]
Richtig.
Gruß Brackhaus
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