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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:44 Mi 30.03.2005 | | Autor: | ginii |
hallo!
Bei dem Thema ,, numerische Integration durch wiederholtes Differenzieren" muss ich die Formel: F(a+h)= [mm] \summe_{i=1}^{n}h^i/i!F^i(a)+R1 [/mm] mit R1=h^(n+1)/(n+1)F^(n+1)(a+vh) ist 0<v<1
herleiten. Mir ist bekannt, dass man versucht mit der Integralfunktion F, indem man sie n-mal differenziert, das Integral zu bestimmen. Dazu wird die Taylorformel eingesetzt. Doch ich kann mit das nicht so richtig vorstellen. Dazu benötige ich eine bildliche Beschreibung oder eine Herleitung.
Für eure Hilfe wäre ich sehr dankbar!!!!!!!!!!!!!!!! 
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:44 Mi 30.03.2005 | | Autor: | ginii |
Hallo M.Brackhaus!
Danke für die Seite, die ist wirklich sehr gut!
Ich habe mich aber schon mit der Taylorformel beschäftigt. Doch was ich noch wissen muss, ist die Anwendgung der Taylorformel bei der numerischen Integration. Es ist ein Verfahren, das anscheinend selten benutzt wird. Ich habe nämlich noch keine Informationen zu diesem Thema gefunden. Falls Sie etwas darüber wissen, könnten Sie mich ja darüber in Kenntnis setzten.
Danke!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:17 Mi 30.03.2005 | | Autor: | Max |
Lass mal siezen weg - ich komme mir auch so alt genug vor.
Naja, wenn damit warm geworden bist, dass man mit den Ableitungen einer Funktion die Funktion beliegig genau durch ein Polynom beschreiben kann - d.h. man kann sich aussuchen wie groß der Fehler bei der Näherung werden soll - dann kann man sehr leicht damit die Stammfunktion annähern.
Man braucht ja die Stammfunktion, um das Integral zu berechnen, es gilt ja:
[mm] $\int_a^b [/mm] f(x)dx = F(b)-F(a)$
Der Trick besteht jetzt einfach $F$ mit einem Taylorpolynom anzunähern um die Stelle [mm] $x_0=a$.
[/mm]
Es gilt ja: [mm] $F(x)=\sum_{k=0}^{\infty} \frac{F^{(k)}(a)}{k!}(x-a)^k$
[/mm]
Dann kann man nämlich schreiben:
[mm] $\int_a^b [/mm] f(x)dx = [mm] F(b)-F(a)=\sum_{k=0}^{\infty} \frac{F^{(k)}(a)}{k!}(b-a)^ [/mm] k - F(a) = [mm] \sum_{k=1}^{\infty} \frac{F^{(k)}(a)}{k!}(b-a)^ [/mm] k$
Da man aber die Ableitungen [mm] $F^{(k)}$ [/mm] für $k=1; 2; [mm] 3;\ldots [/mm] $ bestimmen kann, da ja [mm] $F^{(1)}=F'=f$ [/mm] gilt, hat man damit eine Näherungsformel für das Integral gefunden. (Vorher konnte man dummerweise [mm] $F^{(0)}(a)=F(a)$ [/mm] nicht ausrechnen, da man $F$ nicht kannte, durch die Entwicklung der Taylorreihe um die Stelle [mm] $x_0=a$ [/mm] fällt aber genau der Summand weg, so dass dieses Problem nicht mehr vorliegt.)
Gruß Brackhaus
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