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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:18 Fr 05.02.2010 | | Autor: | JulianTa |
| Aufgabe | | Ist [mm] \integral_0^1{x^3 \cdot e^{x^2} dx} [/mm] definiert als eigentliches Riemann-Integral? Wenn ja , berechnen Sie den Wert! |
Hallo zusammen!
Da [mm] $x^3 \cdot e^{x^2}$ [/mm] stetig ist als Komposition stetiger Funktionen ohne Polstelle, ist es auf jeden Fall auch Riemann-Integrierbar. So weit so gut.
Jetzt hab ich hier als Lösung einer alten Klausur folgendes:
[mm] \integral_0^1{x^3 \cdot e^{x^2} dx}
[/mm]
= [mm] \left[\frac{1}{2}x^2 \cdot e^{x^2} \right]_0^1 [/mm] - [mm] \integral_0^1{x \cdot e^{x^2} dx}
[/mm]
= [mm] \left[\frac{1}{2}x^2 \cdot e^{x^2} - \frac{1}{2}e^{x^2} \right] [/mm]
= [mm] \frac{1}{2}
[/mm]
Das ganze sieht ja schwer nach partieller Integration aus.
Aber wie zum Teufel soll ich bitte $f(x)$ und $G(x)$ wählen, sodass $F(x) [mm] \cdot [/mm] G(x) = [mm] \left[\frac{1}{2}x^2 \cdot e^{x^2} \right]_0^1$???
[/mm]
Ganz zu schweigen von dem Rest?
Kann mir jemand die Zwischenschritte mal erklären?
Lieben Dank, julianta
P.S. Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo JulianTa,
> Ist [mm]\integral_0^1{x^3 \cdot e^{x^2} dx}[/mm] definiert als
> eigentliches Riemann-Integral? Wenn ja , berechnen Sie den
> Wert!
> Hallo zusammen!
> Da [mm]x^3 \cdot e^{x^2}[/mm] stetig ist als Komposition stetiger
> Funktionen ohne Polstelle, ist es auf jeden Fall auch
> Riemann-Integrierbar. So weit so gut.
> Jetzt hab ich hier als Lösung einer alten Klausur
> folgendes:
> [mm]\integral_0^1{x^3 \cdot e^{x^2} dx}[/mm]
> =
> [mm]\left[\frac{1}{2}x^2 \cdot e^{x^2} \right]_0^1[/mm] -
> [mm]\integral_0^1{x \cdot e^{x^2} dx}[/mm]
> = [mm]\left[\frac{1}{2}x^2 \cdot e^{x^2} - \frac{1}{2}e^{x^2} \right][/mm]
> = [mm]\frac{1}{2}[/mm]
>
> Das ganze sieht ja schwer nach partieller Integration aus.
> Aber wie zum Teufel soll ich bitte [mm]f(x)[/mm] und [mm]G(x)[/mm] wählen,
> sodass [mm]F(x) \cdot G(x) = \left[\frac{1}{2}x^2 \cdot e^{x^2} \right]_0^1[/mm]???
>
Nach der Regel:
[mm]\integral{u'*v \ dx}=u*v-\integral{u*v' \ dx}[/mm]
wurde hier
[mm]u'=x*e^{x^{2}}[/mm]
[mm]v=x^{2}[/mm]
für die partielle Integration gewählt.
Für das Restintegral
[mm]\integral_0^1{x \cdot e^{x^2} dx}[/mm]
wurde die Substitution [mm]z=x^{2}[/mm] verwendet.
Diese Substitution wurde übrigens auch für u' verwendet.
> Ganz zu schweigen von dem Rest?
> Kann mir jemand die Zwischenschritte mal erklären?
> Lieben Dank, julianta
>
>
> P.S. Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
Gruss
MathePower
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