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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:24 Do 20.01.2011 | | Autor: | Vertax |
| Aufgabe | | Berechnen Sie das Unbestimmte Integral [mm] \integral -4x*e^{x^2} [/mm] dx |
Mhh ok wie gehe ich denn hier am besten ran?
Habe ja diese 3 Möglichkeiten:
-Partielle Integration
-Integration durch Substitution
-Integration durch Partialbrüche
Partialbruch fällt raus da ich keine Nullstellen habe.
So und die Partielle Integration hat mir keine bessere Funktion geliefert, da ich Probleme beim Integrieren von [mm] e^{-x^2} [/mm] habe und nicht genau weis wie ich es lösen könnte.
Und wie ich gescheit Substituiere würde mir auch nicht einfallen, da ich einmal x und einmal [mm] -x^2 [/mm] habe.
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Hallo,
substituiere das [mm] x^{2} [/mm]
also
[mm] u=x^{2}
[/mm]
du= ... dx
dx= ... du
Gruss
kushkush
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:59 Do 20.01.2011 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Berechnen Sie das Unbestimmte Integral [mm]\integral -4x*e^{x^2}[/mm]
> dx
> Mhh ok wie gehe ich denn hier am besten ran?
> Habe ja diese 3 Möglichkeiten:
> -Partielle Integration
> -Integration durch Substitution
> -Integration durch Partialbrüche
>
> Partialbruch fällt raus da ich keine Nullstellen habe.
>
> So und die Partielle Integration hat mir keine bessere
> Funktion geliefert, da ich Probleme beim Integrieren von
> [mm]e^{-x^2}[/mm] habe und nicht genau weis wie ich es lösen
> könnte.
>
> Und wie ich gescheit Substituiere würde mir auch nicht
> einfallen, da ich einmal x und einmal [mm]-x^2[/mm] habe.
wie von kushkush vorgeschlagen ist die Substitution hier hilfreich. Du erkennst es daran, "weil die Ableitung der inneren Funktion als Faktor auftaucht".
Denn erinnere Dich: Bei der Kettenregel steht da
$$(u(v(x)))'=u'(v(x)) [mm] \;\blue{\cdot v'(x)}\,.$$
[/mm]
(Bei der Substitutionsregel taucht sowas in der Art eigentlich auch immer auf. Schau' Dir die Herleiung dazu an!)
Wenn Du nun bei Dir den Integrand anschaust und den in folgender Form schreibst:
[mm] $$(-2)\cdot\blue{2x}e^{\green{x^2}},$$
[/mm]
dann siehst Du, dass dieser "blaue Faktor gerade die Ableitung des grünen Terms wiederspiegelt".
Da steht also (von dem Vorfaktor [mm] $-2\,$ [/mm] mal abgesehen) irgendwas der Art
[mm] $$v'(x)*e^{v(x)}$$
[/mm]
mit [mm] $v(x)=x^2\,.$ [/mm] Mit [mm] $u'(v)=e^v$ [/mm] also etwas der Art
[mm] $$u'(v(x))*v'(x)\,$$
[/mm]
Und
[mm] $$\int [/mm] u'(v(x))*v'(x) [mm] dx=u(v(x))\,,$$
[/mm]
in dem Sinne, dass rechterhand eine Stammfunktion des Integranden linkerhand steht. Zu [mm] $u'(v)=e^v$ [/mm] ist aber $v [mm] \mapsto e^v\,,$ [/mm] also [mm] $u(v)=e^v\,,$ [/mm] eine Stammfunktion zu [mm] $u'\,.$ [/mm] So könnte man es sich auch quasi nochmal "von Hand zusammenbasteln".
Für Dich ist es aber wichtig, in Zukunft einfach eine deratige Struktur zu erkennen. Also:
Wenn Du irgendwo bei einem Integranden eine "innere Funktion" siehst, deren Ableitung zudem noch als Faktor im Integranden steht, dann ist Substitution eine naheliegende Methode, die man dann versuchen sollte.
Beispiel:
Was ist
[mm] $$\int \cos(x)*(sin(x))^4 [/mm] dx?$$
Man sieht hier "die innere Funktion [mm] $\sin(x)\,,$ [/mm] denn mit [mm] $u(v)=v^4$ [/mm] kann man [mm] $(\sin(x))^4$ [/mm] als [mm] $u(\sin(x))$ [/mm] schreiben. DIe Ableitung der Sinusfunktion ist die Kosinusfunktion. Diese steht als Faktor bei dem Integranden.
Daher:
Wir setzen [mm] $v=v(x)=\sin(x)\,,$ [/mm] dann ist [mm] $dv=dx*\cos(x)$ [/mm] und daher
[mm] $$\int \cos(x)*(\sin(x))^4dx=\int(\sin(x))^4\;*\cos(x)dx=\int v^4dv=\frac{1}{5}v^5\;\;(+\text{konstante Funktion})$$
[/mm]
und mit der Resubstitution [mm] $v=\sin(x)$ [/mm] ist daher
$$x [mm] \mapsto \frac{(\sin(x))^5}{5}$$
[/mm]
EINE Stammfunktion zu $x [mm] \mapsto \cos(x)*(\sin(x))^4\,.$
[/mm]
P.S.:
Bei einem Integranden macht das Auffinden einer inneren Funktion und deren Ableitung eine entsprechende Substitution zwar naheliegend. Es heißt aber nicht zwingend, dass dann eine Substitution immer gelingt bzw. immer der beste Weg ist...
Gruß,
Marcel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:38 Fr 21.01.2011 | | Autor: | Vertax |
Ok das hat ein wenig geholfen, nur habe ich nun ein kleines Problem:
Also hier mal meine Rechnung:
[mm] \integral -4x\cdot{}e^{x^2} [/mm] dx
[mm]z = x^2 [/mm]
[mm]z'=2x[/mm]
[mm]\frac{dz}{dx}=2x[/mm]
[mm]\frac{dz}{2x}=dx[/mm]
[mm] \integral -4x\cdot{}e^{x^2} \frac{dz}{2x}
[/mm]
[mm] \integral {e^{x^2} * (-4x) \frac{dz}{2x}}
[/mm]
[mm] \integral {e^{x^2} \frac{dz*-4*x}{2*x}}
[/mm]
Jetzt kann ich ja x gegen x kürzen also:
[mm] \integral {e^{x^2} \frac{dz*-4}{2}}
[/mm]
Umgeformt:
[mm] \integral {e^{x^2} \frac{-4}{2}*dz}
[/mm]
Konstante vor das Integral ziehen:
[mm] \frac{-4}{2}*\integral {e^{x^2} dz}
[/mm]
[mm] -2*\integral {e^{x^2} dz}
[/mm]
So nun Integral lösen:
[mm](e^{x^2})' = -e^{x^2}+C[/mm]
[mm]-2* -e^{x^2}+C[/mm]
Raus sollte aber kommen:
[mm]2e^{x^2}+C[/mm]
Was ich mich jetzt etwas verunsichert ist das Minus, kann ich einfach die beiden Minuse streichen da ich - * - Rechne?
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> Ok das hat ein wenig geholfen, nur habe ich nun ein kleines
> Problem:
>
> Also hier mal meine Rechnung:
>
> [mm]\integral -4x\cdot{}e^{x^2}[/mm] dx
> [mm]z = x^2[/mm]
> [mm]z'=2x[/mm]
>
> [mm]\frac{dz}{dx}=2x[/mm]
> [mm]\frac{dz}{2x}=dx[/mm]
>
> [mm]\integral -4x\cdot{}e^{x^2} \frac{dz}{2x}[/mm]
Du willst ja eigentlich keine x mehr drin haben, sondern nur noch z - also nutze auch deine Substitution:
[mm]\integral -4x\cdot{}e^{z} \frac{dz}{2x}[/mm]
>
> [mm]\integral {e^{x^2} * (-4x) \frac{dz}{2x}}[/mm]
>
> [mm]\integral {e^{x^2} \frac{dz*-4*x}{2*x}}[/mm]
> Jetzt kann ich ja
> x gegen x kürzen also:
Das kannst du in der Tat, es bleibt etwas wirklich einfaches
>
> [mm]\integral {e^{x^2} \frac{dz*-4}{2}}[/mm]
> Umgeformt:
> [mm]\integral {e^{x^2} \frac{-4}{2}*dz}[/mm]
> Konstante vor das
> Integral ziehen:
> [mm]\frac{-4}{2}*\integral {e^{x^2} dz}[/mm]
>
Viele Zwischenschritte, um 4:2=2 zu rechnen, aber wenn sie dir helfen, okay.
[mm]-2*\integral {e^{z} dz}[/mm]
Wenn du dir schon die Mühe mit dem z machst, nutze es auch:
$= -2 * [mm] (e^{z} [/mm] + CONST)$
Jetzt musst du die Rücksubstitution noch machen, also [mm] z=x^{2} [/mm] und es kommt fast dein Ergebnis raus:
$ = [mm] -2*e^{x^{2}} [/mm] + CONST$
> So nun Integral lösen:
> [mm](e^{x^2})' = -e^{x^2}+C[/mm]
>
> [mm]-2* -e^{x^2}+C[/mm]
Das ist ja komisch, wo kommt denn auf einmal das "-" vor dem e-Term her? Und formal ist das eh falsch, aber das hab ich ja schon zweimal vorher erwähnt.
>
> Raus sollte aber kommen:
> [mm]2e^{x^2}+C[/mm]
Wer sagt denn sowas? Du kannst das doch einfach durch Ableiten prüfen - und dann stellst du fest, dass die Ableitung dieser Funktion, die du hier als angebliche Lösung angibst NICHT die von dir ursprünglich genannte Funktion [mm] $-4x*e^{x^{2}}$ [/mm] ist.
>
> Was ich mich jetzt etwas verunsichert ist das Minus, kann
> ich einfach die beiden Minuse streichen da ich - * -
> Rechne?
Wenn in der Integration noch ein Minus dazu käme (was es aber nicht tut!), dann wäre es in der Tat eine Multiplikation zweier negativer Zahlen und das gäbe dann bekanntermaßen was positives (kurz: Minus mal Minus gibt Plus). Hier hast du nur ein Minus und das ist auch gut so - dann stimmt es nämlich auch 
>
lg weightgainer
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:17 Fr 21.01.2011 | | Autor: | Vertax |
Ich habe ein minus in meine Aufgabe vergessen gehabt:
[mm] \integral -4x\cdot{}e^{-x^2} dx [/mm]
Dadurch habe ich ja zum Schluss:
[mm]-2*\integral e^{-z} dx [/mm]
Und das Integral : [mm]\integral e^{-z} dx [/mm] ergibt mit ja: [mm] -e^{-z}
[/mm]
wodurch ich auf [mm] -2*-e^{-z} [/mm] komme
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Hallo Vertax,
> Ich habe ein minus in meine Aufgabe vergessen gehabt:
>
> [mm]\integral -4x\cdot{}e^{-x^2} dx[/mm]
>
> Dadurch habe ich ja zum Schluss:
>
> [mm]-2*\integral e^{-z} dx[/mm]
>
>
> Und das Integral : [mm]\integral e^{-z} dx[/mm] ergibt mit ja:
> [mm]-e^{-z}[/mm]
>
> wodurch ich auf [mm]-2*-e^{-z}[/mm] komme
Und da die Multiplikation zweier negativer Zahlen
eine positive Zahl ergibt, steht dann da:
[mm]2*e^{-z}[/mm]
Gruss
MathePower
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:36 Sa 22.01.2011 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Ich habe ein minus in meine Aufgabe vergessen gehabt:
>
> [mm]\integral -4x\cdot{}e^{-x^2} dx[/mm]
>
> Dadurch habe ich ja zum Schluss:
>
> [mm]-2*\integral e^{-z} dx[/mm]
ich habe nicht alles mitverfolgt, aber ich hoffe, dass da
[mm] $$-2\int e^{-z}\blue{\text{dz}}$$
[/mm]
rauskommt.
Was bei einer Substitution [mm] $z=z(x)\,$ [/mm] bei einer Integration passieren sollte, ist, dass man die Abhängigkeit von [mm] $x\,$ [/mm] komplett "los wird" und dann im Integranden nur noch eine Abhängigkeit nach der neuen Integrationsvariablen [mm] $z\,$ [/mm] sieht - so dass man nun das in [mm] $z\,$ [/mm] neu entstehende Integral leicht(er) lösen kann.
Formal ist es übrigens ein wenig entscheidend, was man für
[mm] $$\int [/mm] f(x)dx$$
festlegt. Man kann sagen: Es steht für eine Stammfunktion [mm] $F\,$ [/mm] des Integranden [mm] $f\,,$ [/mm] man kann auch sagen: Es steht für die Klasse aller Stammfunktionen [mm] $[F]\,$ [/mm] von [mm] $f\,,$ [/mm] wobei [mm] $F\,$ [/mm] ein Repräsentant dieser Klasse genau dann ist, wenn [mm] $F'=f\,$ [/mm] gilt. Je nach Definition sollte man formal eine Konstante (=konstante Funktion) bei der Angabe von [mm] $F\,$ [/mm] evtl. mitführen, oder es ist halt unnötig.
> Und das Integral : [mm]\integral e^{-z} dx[/mm] ergibt mit ja:
> [mm]-e^{-z}[/mm]
[mm] $$\int e^{-z}\blue{\text{dz}}$$
[/mm]
ist in der Tat
[mm] $$=\;-\;\int e^{-z}dz\;\;(\text{evtl. }+CONST)\,.$$
[/mm]
Das kann man durch ableiten der letztstehenden Funktion testen, man kann es aber auch direkt durch eine einfache Substitution $z [mm] \leftrightarrow -z$ herleiten.
> wodurch ich auf [/mm] [mm]-2*\red{(}-e^{-z}\red{)}[/mm] komme
Was
[mm] $$=2e^{-z}$$
[/mm]
ist.
Resubstitution [mm] $z=x^2\,$ [/mm] nicht vergessen! Deine Ausgangsfunktion (der ursprüngliche Integrand) steht da ja nicht in Abhängigkeit von [mm] $z=x^2\,,$ [/mm] sondern er ist halt in Abhängigkeit von [mm] $x\,$ [/mm] angegeben. Also brauchst Du auch eine Stammfunktionsangabe in Abhängigkeit von [mm] $x\,.$
[/mm]
P.S.:
Ich rechne es jetzt einfach nochmal vor (mit dem Deinerseits korrigierten(!!) Integranden):
Mit [mm] $z=x^2\,$ [/mm] ist [mm] $dz/dx=2x\,$ [/mm] bzw. [mm] $dz=2xdx\,$ [/mm] und daher
[mm] $$\int -4xe^{-x^2}dx=-2\int e^{-x^2}\;\;\underbrace{2xdx}_{=dz}=-2\int e^{-z} dz=-2*(-e^{-z})=2e^{-x^2}\,.$$
[/mm]
(In dem Sinne, dass rechterhand mit $x [mm] \mapsto 2e^{-x^2}$ [/mm] eine Stammfunktion des Integranden linkerhand $x [mm] \mapsto -4xe^{-x^2}$ [/mm] gefunden ist.)
P.P.S.:
Bei [mm] $\int -4xe^{-x^2}dx$ [/mm] wäre übrigens die Substitution [mm] $z=z(x):=-x^2$ [/mm] sogar ein wenig naheliegender.
Gruß,
Marcel
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