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| Aufgabe | [mm] \int_1^{e^4}\frac{\sqrt{\log x}}{x}\,\text{d}x [/mm] = [mm] 2\int_a^b t^2 \,\text{d}t
[/mm]
Durch welche Substitution wird das linke Integral in das rechte überführt? |
Hallöchen.
Da mich die Substitution von Integralen total beschäftigt möchte ich für das nähere Verständnis die oben genannte Aufgabe lösen.
Die Herleitungsformel für diese Substititutionsmethode ist:
F sei eine Stammfunktion von f.
Damit gilt:
[mm] \bruch{d(F(u(x))}{dx}=F'(u(x))*u'(x)=f(u(x))*u'(x)
[/mm]
Diesen Ausdruck möchte man integrieren:
[mm] \integral_{b}^{a}{f(u(x))*u'(x)dx}=F(u(a))-F(u(b))
[/mm]
Das ist wiederum darstellbar als:
[mm] \integral_{u(b)}^{u(a)}{f(u)du}
[/mm]
Man sucht demnach also genau die Stammfunktion von f, also F in Abhängigkeit der Variable u.
Ist dann u nicht einfach jene Variable die u(x) ersetzt?
Nun zur Aufgabe:
Es heißt:
[mm] \integral_{1}^{e^4}{\bruch{\wurzel{ln(x)}}{x}dx}
[/mm]
Man könnte nach obiger Herleitung sagen:
ln(x)=u(x)=z
[mm] \bruch{1}{x}=u'(x)
[/mm]
[mm] f(z)=\wurzel{z}
[/mm]
Also würde man folgendes Integral bekommen:
[mm] \integral_{1}^{e^4}{f(u(x))*u'(x)dx}
[/mm]
Also genau die obige Form.
Nun müsste ich u(x) doch eigentlich nur durch u ersetzen,oder?
Also ln(x)=u. Das dadurch entstehende Differential wäre:
[mm] \bruch{du}{dx}=\bruch{1}{x}
[/mm]
"Umstellen" nach dx=du*x
Somit würde ich folgende Lösung erhalten:
[mm] \integral_{a}^{b}{\wurzel{u}*\bruch{1}{x}*x du}=\integral_{a}^{b}\wurzel{u}du
[/mm]
Dies entspricht nicht der gesuchten Lösung.
Also muss man scheinbar zu einer anderen Variable hin substituieren.
Aber wie kommt man denn auf den gesuchten Gedankengang?
Ich kann doch nicht einfach mal bisschen rumprobieren bis ich rausbekomme, was geuscht ist.
Die Zeit ist ja nicht in der Klausur gegeben.
Gibt es irgendwelche Tricks, Methoden oder etwas das ich übersehen habe?
Über Hinweise, Tips etc würde ich mich freuen.
Danke im Voraus.
Ps: Ich suche nicht die Lösung. Würde ja nichts bringen, ohne das Verständnis dahinter.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:45 Di 01.02.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
1. deine Substitution ist für die Zwecke der Integration genauso gut.
2. du kannst in einem zweiten Schritt [mm] \wurzel{u}=t [/mm] setzen, oder direkt
[mm] u=\wurzel{ln(x)}
[/mm]
Wie man so was findet?
man braucht eine gewisse Erfahrung:
erstens man sieht, dass da [mm] \wurzel{f}*f' [/mm] steht, und überlegt, wie man das als Ableitung einer fkt g(f(x)) sehen kann und sieht vielleicht [mm] (f^{3/2})'=3/2*\wurzel{f}*f' [/mm] das führt zu deiner Substitution
oder zu [mm] u^2=f. [/mm] eine erfahrung mit zusammengesetzten funktionen gehört dazu !
etwa immer wenn man zu integrieren hat f'/f sollte man wissen (ln(f))'=f'/f
oder wenn man f*f' hat, [mm] (f^2)'=2ff' [/mm] usw.
Gruss leduart
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:48 Di 01.02.2011 | | Autor: | Masseltof |
Hallo leduart.
Danke vielmals für die Antwort.
Dann werde ich mich mal ranmachen Erfahrung zu sammeln :)
Viele Grüße
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