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| Aufgabe | Berechnen Sie das folgende Integral:
[mm] \integral_{0}^{1}\integral_{0}^{x}\integral_{x}^{y}{(xy^2z) dz dy dz} [/mm] |
Hallo zusammen,
kann mir jemand helfen? Normalerweise sind doch Dreifachintegrale so zu berechnen:
[mm] \integral_{0}^{1}\integral_{0}^{x}\integral_{x}^{y}{(xy^2z)} [/mm] dxdydz ?
Was muss ich bei der Integration beachten? Ich weiss nur, dass man von Innen nach aussen Integrieren muss. Gilt das hier auch?
Danke für die Hilfe
Archimedes
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Hallo archimedes_83,
> Berechnen Sie das folgende Integral:
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> [mm]\integral_{0}^{1}\integral_{0}^{x}\integral_{x}^{y}{(xy^2z) dz dy dz}[/mm]
Die Integrationsreihenfolge soll doch wohl "dz dy dx" lauten.
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> Hallo zusammen,
>
> kann mir jemand helfen? Normalerweise sind doch
> Dreifachintegrale so zu berechnen:
>
> [mm]\integral_{0}^{1}\integral_{0}^{x}\integral_{x}^{y}{(xy^2z)}[/mm]
> dxdydz ?
>
Es gibt keine feste Regel, nach welcher Integrationsvariablen
zuerst integriert wird. Regel ist aber, dass über diejenige
Integrationsvariable, die feste Grenzen aufweist, zuletzt
integriert wird.
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>
> Was muss ich bei der Integration beachten? Ich weiss nur,
> dass man von Innen nach aussen Integrieren muss. Gilt das
> hier auch?
Ja, zuerst ist das innerste Integral
[mm]\integral_{x}^{y}{(xy^2z) \ dz[/mm]
auszuwerten.
>
> Danke für die Hilfe
>
> Archimedes
Gruss
MathePower
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Hallo Mathepower,
vielen Dank für die Antwort.
Das heisst es gibt zwei Lösungen.
Die erste ist:
-0,0667 * [mm] x^6
[/mm]
Die zweite ist:
[mm] -0,1667*x^4*(x^2-y^2)
[/mm]
Ist das korrekt?
Bei der ersten berechnung habe ich zuerst das innerste Integral, dann das mittler und zum Schluss das äussere berechnet.
Bei der zweiten Berechnung habe ich zuerst das mittlere, dann das innere und zuletzt das äussere Integral berechntet.
Vielen Dank und Gruss
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Hallo archimedes_83,
> Hallo Mathepower,
>
> vielen Dank für die Antwort.
> Das heisst es gibt zwei Lösungen.
Nein, es gibt keine zwei Lösungen.
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> Die erste ist:
>
> -0,0667 * [mm]x^6[/mm]
Hier hast du doch schon berechnet:
[mm]\integral_{0}^{x}\integral_{x}^{y}{(xy^2z) dz dy}[/mm]
Jetzt musst Du nur noch dieses Integral berechnen:
[mm]\integral_{0}^{1}{-\bruch{x^{6}}{15} \ dx}[/mm]
>
> Die zweite ist:
>
> [mm]-0,1667*x^4*(x^2-y^2)[/mm]
>
>
> Ist das korrekt?
>
> Bei der ersten berechnung habe ich zuerst das innerste
> Integral, dann das mittler und zum Schluss das äussere
> berechnet.
>
> Bei der zweiten Berechnung habe ich zuerst das mittlere,
> dann das innere und zuletzt das äussere Integral
> berechntet.
>
> Vielen Dank und Gruss
Gruss
MathePower
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Hallo Mathepower,
danke für die Antowrt.
Woher kommt jetzt plötzich das dx in der Teillösung?
$ [mm] \integral_{0}^{1}{-\bruch{x^{6}}{15} \ dx} [/mm] $
In der Aufgabenstellung steht dz.
Danke für die Antowrt.
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Hallo archimedes_83,
> Hallo Mathepower,
>
> danke für die Antowrt.
>
> Woher kommt jetzt plötzich das dx in der Teillösung?
>
> [mm]\integral_{0}^{1}{-\bruch{x^{6}}{15} \ dx}[/mm]
>
> In der Aufgabenstellung steht dz.
>
Dann ist das ein Fehler in der Aufgabenstellung.
Entweder muss dort stehen "dz dy dx" der "dx dy dz",
aber nicht "dz dx dz".
>
> Danke für die Antowrt.
Gruss
MathePower
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