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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 09:11 Mo 14.11.2011 | | Autor: | Mandy_90 |
| Aufgabe | | Gegeben seien f,g:W [mm] \to \IR, [/mm] f sei Riemann-integrierbar und es gelte f=g außer in endlich vielen Punkten . Beweisen Sie, dass g auch Riemann-integrierbar ist und [mm] \integral_{w}^{}{f(x) dx}=\integral_{w}^{}{g(x) dx} [/mm] gilt. |
Hallo^^,
In den Punkten, in denen f=g gilt, ist die Behauptung klar.Zu untersuchen sind also die endlich vielen Punkte, in denen f [mm] \not=g [/mm] gilt.
Ich hab versucht ein Beispiel dafür zu konstruieren:
f: {0,2} [mm] \to \IR, [/mm] x [mm] \mapsto [/mm] 2x
g: {0,2} [mm] \to \IR, [/mm] x [mm] \mapsto [/mm] 2x falls x [mm] \not=0, [/mm] 2 falls x=0
Die Integrale von f und g sind immer gleich, aber die Funktionen sind an der stelle x=0 nicht gleich.
Beim allgemeinen Beweis hab ich aber Schwierigkeiten.
Wie muss hier an den Beweis rangehen und wie anfangen?
Vielen Dank
lg
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:44 Mo 14.11.2011 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
Das Riemann-Integral ist ja der Grenzwert der Ober bzw- Untersumme.
Ändern endlich viele unterschiedliche Summanden bei g den Grenzwert dieser Summe?
Marius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:52 Mo 14.11.2011 | | Autor: | Mandy_90 |
> Hallo
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> Das Riemann-Integral ist ja der Grenzwert der Ober bzw-
> Untersumme.
>
> Ändern endlich viele unterschiedliche Summanden bei g den
> Grenzwert dieser Summe?
Nein, das tun sie nicht. Ich habs mir so aufgeschrieben:
Für sämtlich Bereiche von g, für die f=g gilt, gilt:
[mm] \integral_{w}^{u}{f(x) dx}=sup \underline{S}(g,w,p)=sup \summe_{w_{\alpha}}^{} [/mm] inf [mm] g|_{w_{\alpha}}*vol(w_{\alpha})=\limes_{p\rightarrow\infty} [/mm] sup [mm] \summe_{w_{\alpha}}^{p} [/mm] inf [mm] g|_{w_{\alpha}}*vol(w_{\alpha})=inf \summe_{w_{\alpha}}^{} [/mm] sup [mm] g|_{w_{\alpha}}*vol(w_{\alpha})= [/mm] inf [mm] \overline{S} (g,w,p)=\integral_{w}^{o}{g(x) dx},
[/mm]
wobei p ein Partition des Würfels W ist und [mm] w_{\alpha} [/mm] sind die Teilwürfel.
Und da endlich viele Summanden den Grenzwert nicht ändern, gilt obiges insgesamt für die ganze Funktion g und g ist Riemann-Integrierbar und es gilt [mm] \integral_{w}^{}{f(x) dx}=\integral_{w}^{}{g(x) dx}.
[/mm]
Ist das so in Ordnung?
Vielen Dank
lg
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:59 Mi 16.11.2011 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
> > Hallo
> >
> > Das Riemann-Integral ist ja der Grenzwert der Ober bzw-
> > Untersumme.
> >
> > Ändern endlich viele unterschiedliche Summanden bei g den
> > Grenzwert dieser Summe?
>
> Nein, das tun sie nicht. Ich habs mir so aufgeschrieben:
>
> Für sämtlich Bereiche von g, für die f=g gilt, gilt:
> [mm]\integral_{w}^{u}{f(x) dx}=sup \underline{S}(g,w,p)=sup \summe_{w_{\alpha}}^{}[/mm]
> inf
> [mm]g|_{w_{\alpha}}*vol(w_{\alpha})=\limes_{p\rightarrow\infty}[/mm]
> sup [mm]\summe_{w_{\alpha}}^{p}[/mm] inf
> [mm]g|_{w_{\alpha}}*vol(w_{\alpha})=inf \summe_{w_{\alpha}}^{}[/mm]
> sup [mm]g|_{w_{\alpha}}*vol(w_{\alpha})=[/mm] inf [mm]\overline{S} (g,w,p)=\integral_{w}^{o}{g(x) dx},[/mm]
>
> wobei p ein Partition des Würfels W ist und [mm]w_{\alpha}[/mm]
> sind die Teilwürfel.
>
> Und da endlich viele Summanden den Grenzwert nicht ändern,
> gilt obiges insgesamt für die ganze Funktion g und g ist
> Riemann-Integrierbar und es gilt [mm]\integral_{w}^{}{f(x) dx}=\integral_{w}^{}{g(x) dx}.[/mm]
>
> Ist das so in Ordnung?
Mit ein bisschen meht Text, ja.
Endlich viele unterscheidungsstellen zwischen f und g bedeutet vor allem, dass man keine "Intervalle" hat, sondern nur Punkte, auf denen sich f und g unterscheiden.
Hättest du Intervalle, würdest du, da jedes Intervall unendlich viele Elemente hat, der Bedingung widersprechen.
Selbst wenn man jetzt mit der Unter- bzw Obersumme einen der Funktionswerte trifft, hast du also auch nur endlich viele Summanden, die bei f und g unterschiedlich sind.
Das ändert also bei der Grenzwertbidling (Dieser existiert ja) nichts.
>
> Vielen Dank
> lg
Marius
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