Integration, BESSEL-Funktionen < Elektrotechnik < Ingenieurwiss. < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:44 Sa 17.07.2010 | | Autor: | Marcel08 |
Hallo zusammen!
Zwecks Leistungsberechnung muss ich die folgende Funktion integrieren. Es handelt sich dabei um die Integration einer gewöhnlichen BESSEL-Funktion.
(1) [mm] \integral_{\rho=0}^{R}{(J_{0}^{'}(\bruch{j^{'}_{01}}{R}\rho))^{2}\rho{d\rho}}
[/mm]
(2) [mm] \integral_{\rho=0}^{R}{(J_{1}(\bruch{j^{'}_{01}}{R}\rho))^{2}\rho{d\rho}}
[/mm]
Ich würde gerne wissen:
1.) Wie komme ich von Gleichung (1) auf Gleichung (2)?
2.) Wie kann ich dann Gleichung (2) integrieren?
3.) Wie integriert man im Allgemeinen sowohl gewöhnliche als auch modifizierte BESSEL-Funktionen n-ter Ordnung?
Über hilfreiche Tipps würde ich mich freuen. Vielen Dank!
Gruß, Marcel
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:11 Sa 17.07.2010 | | Autor: | chrisno |
Das ist lange her. Ich versuche meine Erinnerungen aufzuwecken. Daher lasse ich das lieber auf halb beantwortet.
>
> (1)
> [mm]\integral_{\rho=0}^{R}{(J_{0}^{'}(\bruch{j^{'}_{01}}{R}\rho))^{2}\rho{d\rho}}[/mm]
>
> (2)
> [mm]\integral_{\rho=0}^{R}{(J_{1}(\bruch{j^{'}_{01}}{R}\rho))^{2}\rho{d\rho}}[/mm]
>
> Ich würde gerne wissen:
>
> 1.) Wie komme ich von Gleichung (1) auf Gleichung (2)?
Sollen die beiden Integrale gleich sein? Was ist [mm] $j^{'}_{01}$ [/mm] Hast Du die Ableitung einer modifizierten Besselfunktion im Argument der anderen?
>
> 2.) Wie kann ich dann Gleichung (2) integrieren?
>
> 3.) Wie integriert man im Allgemeinen sowohl gewöhnliche
> als auch modifizierte BESSEL-Funktionen n-ter Ordnung?
>
Wenn ich mich recht erinneren, integriert man die Besselfunktionen nummerisch. Du kannst sie über die "reccurence relations" in der Ordnung reduzieren. Aber eigentlich lohnt die Mühe nicht. Was es alles an Zusammenhängen zwischen den Besselfunktionen gitbt, findest Du in ![[]](/images/popup.gif) Abramowicz Stegun
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:23 Sa 17.07.2010 | | Autor: | Marcel08 |
Hallo!
> Das ist lange her. Ich versuche meine Erinnerungen
> aufzuwecken. Daher lasse ich das lieber auf halb
> beantwortet.
>
> >
> > (1)
> >
> [mm]\integral_{\rho=0}^{R}{(J_{0}^{'}(\bruch{j^{'}_{01}}{R}\rho))^{2}\rho{d\rho}}[/mm]
> >
> > (2)
> >
> [mm]\integral_{\rho=0}^{R}{(J_{1}(\bruch{j^{'}_{01}}{R}\rho))^{2}\rho{d\rho}}[/mm]
> >
> > Ich würde gerne wissen:
> >
> > 1.) Wie komme ich von Gleichung (1) auf Gleichung (2)?
>
> Sollen die beiden Integrale gleich sein?
> Ja, die beiden Integrale sind laut Musterlösung identisch.
> Was ist [mm]j^{'}_{01}[/mm]
> Hast Du die Ableitung einer modifizierten Besselfunktion im
> Argument der anderen?
Nein, der Faktor [mm] \bruch{j^{'}_{01}}{R} [/mm] ist eine bereits an eine vorangegangene Problemstellung angepasste Konstante. Sie dürfte für die Rechnung nicht sonderlich wichtig sein.
> >
> > 2.) Wie kann ich dann Gleichung (2) integrieren?
> >
> > 3.) Wie integriert man im Allgemeinen sowohl gewöhnliche
> > als auch modifizierte BESSEL-Funktionen n-ter Ordnung?
> >
> Wenn ich mich recht erinneren, integriert man die
> Besselfunktionen nummerisch.
Das heißt, man kann in diesem Fall keine Stammfunktion per Hand berechnen, beispielsweise über Rekursionsformeln, Spezialfällen in den Ableitungen o.ä.?
Das Ganze sieht ja schön böse aus. Nicht nur, weil ich nicht weiß, wie man eine BESSEL-Funktion integriert; man muss offensichtlich sogar partiell integrieren.
> Du kannst sie über die
> "reccurence relations" in der Ordnung reduzieren. Aber
> eigentlich lohnt die Mühe nicht. Was es alles an
> Zusammenhängen zwischen den Besselfunktionen gitbt,
> findest Du in Abramowicz > Stegun
Vielen Dank! Das werde ich mir morgen dann mal genauer ansehen.
Gruß, Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:57 Sa 17.07.2010 | | Autor: | chrisno |
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> > Ja, die beiden Integrale sind laut Musterlösung identisch.
>
Das müsst ich selbst von Null an untersuchen, vielleicht ist jemand anderes hier, der in Übung ist.
> > >
> > Wenn ich mich recht erinneren, integriert man die
> > Besselfunktionen nummerisch.
>
>
> Das heißt, man kann in diesem Fall keine Stammfunktion per
> Hand berechnen, beispielsweise über Rekursionsformeln,
> Spezialfällen in den Ableitungen o.ä.?
>
Du kannst in manchen Fällen über die Rekursionsformeln die Ordnung runterkochen. In der Bibliothek habe ich damals in ein dreibändges Werk über Besselfunktionen geschaut.
> Das Ganze sieht ja schön böse aus. Nicht nur, weil ich
> nicht weiß, wie man eine BESSEL-Funktion integriert; man
> muss offensichtlich sogar partiell integrieren.
>
Such erst einmal, ob Du nicht etwa findest.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:57 So 18.07.2010 | | Autor: | Infinit |
Hallo Marcel,
Chrisno hat "leider" recht. Es gibt keine geschlossene Lösung für solch ein Integral und da hilft nur der alte Abramowicz weiter.
Viel Erfolg dabei,
Infinit
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