Integration /Gauß/ Normalvek. < Sonstiges < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Auf [mm] \IR^3 [/mm] betrachte das Vektorfeld
V(x,y,z) := [mm] (x(y^2+z^2), x^2 [/mm] y , [mm] x^2 [/mm] z+3)
und die Halbkugel
K := { (x,y,z) [mm] \in \IR^3 [/mm] : [mm] (x-2)^2 +y^2 +z^2 [/mm] < 4, x > 2}
Der Rand dieser Halbkugel besteht aus einem flachen und einem runden Teil,
[mm] \partial [/mm] K = [mm] R_1 \cup R_2
[/mm]
[mm] R_1 [/mm] = { (2,y,z) [mm] \in \IR^3 [/mm] : [mm] y^2+z^2 \le [/mm] 4 } ,
[mm] R_2 [/mm] = { (x,y,z) [mm] \in \IR^3: (x-2)^2 +y^2 +z^2 [/mm] = 4 , x > 0 }
a) Berechnen Sie [mm] \integral_{K}{div V d \lambda^3}
[/mm]
b) Berechnen Sie das Normalenvektorfeld v(x,y,z) für fast alle (x,y,z) [mm] \in \partial [/mm] K
c)Berechnen Sie [mm] \integral_{R_1}{ V * v d \mathcal{H}^2} [/mm] und [mm] \integral_{R_2}{ V * v d \mathcal{H}^2}
[/mm]
Sie brauchen wenn sie a) berechnet haben und Gauß anwenden, nur eines der beidesn Integrale wirklich ausrechnen. |
Huhu zusammen!
Ich hoffe es gibt einige unter euch, die sich nicht abschrecken lassen von der langen AUfgabenstellung!
Also zur a)
[mm] \integral_{K}{div V d \lambda^3}
[/mm]
Mittels Tranformation von x zu x+2 kommt man zur Halbkugel mit Ursprung (0,0,0) und Radius 2 (diese Halbkugel sei nun bezeichnet mit H, und da das Volumen der Halbkugel des Radius 2 die Hälfte des Volumens der ganzen Kugel mit Radius 2 ist, müsste gelten:
[mm] \integral_{K}{div V d \lambda^3}
[/mm]
= [mm] \integral_{K} y^2 [/mm] + [mm] z^2 [/mm] + [mm] x^2 [/mm] + [mm] x^2 [/mm] d [mm] \lambda^3
[/mm]
= [mm] \integral_{H} y^2 +z^2 [/mm] + [mm] (x+2)^2 [/mm] + [mm] (x+2)^2 [/mm] d [mm] \lambda^3
[/mm]
= [mm] \integral_{H} y^2 +z^2 [/mm] + [mm] x^2 [/mm] + [mm] \integral_{H} x^2 [/mm] + [mm] \integral_{H} [/mm] 8 + [mm] \integral_{H} [/mm] 8x
Dies müsste nun entsprechen (integral für Integral)
= [mm] \bruch{1}{2} [/mm] * [mm] \integral_{B_2^3} y^2 [/mm] + [mm] z^2 [/mm] + [mm] x^2 [/mm] + [mm] \bruch{1}{2} \bruch{1}{3} \integral_{B_2^3} y^2 [/mm] + [mm] z^2 [/mm] + [mm] x^2 [/mm] + [mm] \bruch{1}{2} [/mm] *8 * [mm] \integral_{B_2^3} [/mm] 1 + ! [mm] \integral_{H} [/mm] 8x !
Das letzte Integral ist mein Problemfall!
Die andren sind leicht mittels Kugelkoordinaten, nur das letzte krieg ich nicht hin!
b)
Ich weiß nicht wie die hier aussehen. Normalerweise berechne ich z.b. für [mm] R_2 [/mm] mit g= [mm] (x-2)^2 +y^2 +z^2 [/mm] -4 = 0 v(x) mit [mm] \bruch{ \nabla g}{ | \nabla g | } [/mm] = [mm] \vektor{ 2x -4 \\ 2y \\ 2z } [/mm] * [mm] \bruch{1}{\wurzel{(2x-2)^2 +4y^2 +4z^2}} [/mm] allerdings weiß ich nicht ob das x > 2 da irgendwie automatisch brücksichtigt ist!
c) Habe ich v(x) und a) bräuchte ich nur ein Integral. wie würde ich diese Integrale einzeln ausrechnen? ( Nur die Vereinigung der beiden Ränder entspreche a) und könnte somit mit Gauß überführt werden aber ich muss eins einzeln schaffen)
Hoffe ihr könnt mir da weiterhelfen! Ich weiß es ist viel aber vielleicht könnt ihr mir trotzdem Stück für Stück dadurch helfen!
Viele Grüße,
Evelyn
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:20 So 02.02.2014 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
|
|
|
|
