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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:51 Mo 15.05.2006 | | Autor: | olhh |
| Aufgabe 1 | | Berechne [mm] \integral_{0}^{0,5}{ \bruch{2x³+1}{x²+x-2} dx} [/mm] |
| Aufgabe 2 | | Berechne [mm] \integral_{}^{}{ \bruch{e^x}{e^2x - e^x} dx} [/mm] |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hallo,
wir sollen als Hausaufgabe die beiden obigen Aufgaben mit Partialbruchzerlegung lösen. Die erste habe ich schon versucht zu bearbeiten und folgendes Ergebnis:
Partialbruch = [mm] \integral_{0}^{0,5}{ 2x-2 dx} [/mm] + [mm] \integral_{0}^{0,5}{\bruch{4,5}{x+2} dx} [/mm] + [mm] \integral_{0}^{0,5}{\bruch{1,5}{x-1} dx}
[/mm]
Also Stammfunktion:
F(x) = x² - 2x + 4,5 * ln |x+2| + 1,5 * ln |x-1|
Wenn ich da nun F(0,5) - F(0) ausrechne komme ich auf ungefähr 2,35 - 3,1 = -0,75
Problem: Unser Prof meinte, es käme ein Ergebnis zwischen -0,32 und -0,33 heraus...
Also muss irgendwo doch ein Fehler sein. Nun denke ich schon eine halbe Stunde über diese Aufgabe nach und finde keinen Fehler. Kann mir eventuell jemand helfen? Wäre prima.
Und zur zweiten Aufgabe: Hier habe ich nicht mal die Idee eines Ansatzes. Wie soll bei der e-Funktion die Partialbruchzerlegung funktionieren? Kann mir eventuell jemand einen kleinen Tipp geben? Wäre prima!!!
Vielen herzlichen Dank!
Viele Grüße aus Berlin
Oliver
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Hallo olhh!
Im Nenner kannst Du zunächst den Term [mm] $e^x$ [/mm] ausklammern und kürzen.
Damit haben wir dann:
[mm] $\bruch{e^x}{e^{2x}-e^x} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{e^x}{e^x*\left(e^x-1\right)} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{1}{e^x-1}$
[/mm]
Nun Substitution: $t \ := \ [mm] e^x$ $\gdw$ [/mm] $x \ = \ [mm] \ln(t)$
[/mm]
[mm] $\Rightarrow$ [/mm] $x' \ = \ [mm] \bruch{dx}{dt} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{1}{t}$ $\gdw$ $\dx [/mm] \ = \ [mm] \bruch{1}{t}*dt$
[/mm]
[mm] $\Rightarrow$ $\integral{\bruch{1}{e^x-1} \ dx} [/mm] \ = \ [mm] \integral{\bruch{1}{(t-1)*t} \ dt}$
[/mm]
Weißt Du von hier an alleine weiter (Partialbruchzerlegung)?
Gruß vom
Roadrunner
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:25 Mo 15.05.2006 | | Autor: | olhh |
Hallo Roadrunner,
vielen herzlichen Dank für die beiden Tipps! Da hatte ich bei Aufgabe 1 wirklich einen Fehler eingebaut, den ich nicht gefunden habe - DANKE vielmals!
Danke auch für den Tipp bei Aufgabe 2. Ich bin alleine weitergekommen und habe als Lösung heraus:
F(x) = -x + ln [mm] |e^x [/mm] - 1| + C
Vielen Dank und viele Grüße
OLHH
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Hallo Oliver!
Hier habe ich eine etwas andere Partialbruchzerlegung erhalten:
[mm] $\bruch{2x^3+1}{x^2+x-2} [/mm] \ = \ [mm] 2x-2+\bruch{\red{5}}{x+2}+ \bruch{\red{1}}{x-1}$
[/mm]
Gruß vom
Roadrunner
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