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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:16 Mi 25.03.2009 | | Autor: | svenchen |
Hallo zusammen,
mir sind bei der Integration durch Substitution zwei Dinge nicht klar.
Ich weiß nicht, wann ich
dt/dx und wann dx / dt schreibe.
Bei der Aufgabe
[mm] \integral_{a}^{b}{sin(\wurzel{x} dx}
[/mm]
muss ich, wenn ich t = [mm] \wurzel{x} [/mm] setze, muss ich dt / dx = 1 / [mm] 2\wurzel{x}
[/mm]
nehmen.
Wenn ich aber x = [mm] t^2 [/mm] substituiere, dann geht's nur mit
dx / dt = 2t.
Also weiß ich nicht, wann nehme ich dx / dt, wann dt / dx.
Ich wäre froh, wenn ihr mir weiterhelfen würdet ;)
Grüße,
sven
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> Hallo zusammen,
Hallo!
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> mir sind bei der Integration durch Substitution zwei Dinge
> nicht klar.
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> Ich weiß nicht, wann ich
>
> dt/dx und wann dx / dt schreibe.
> Bei der Aufgabe
>
> [mm]\integral_{a}^{b}{sin(\wurzel{x} dx}[/mm]
>
> muss ich, wenn ich t = [mm]\wurzel{x}[/mm] setze, muss ich dt / dx =
> 1 / [mm]2\wurzel{x}[/mm]
> nehmen.
Hier leitest du die Funktion $t=t(x)$ nach $x$ ab.
>
> Wenn ich aber x = [mm]t^2[/mm] substituiere, dann geht's nur mit
>
> dx / dt = 2t.
Hier hingegen die Funktion $x=x(t)$ nach $t$
> Also weiß ich nicht, wann nehme ich dx / dt, wann dt /
> dx.
>
Also oben steht die Funktion und unten die Variable nach der du ableitest.
> Ich wäre froh, wenn ihr mir weiterhelfen würdet ;)
>
> Grüße,
>
> sven
>
Gruß Patrick
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:32 Mi 25.03.2009 | | Autor: | svenchen |
Danke für deine Antwort.
Ich verstehe das leider nicht.
Einmal sage ich
statt [mm] \wurzel{x} [/mm] ab jetzt t schreiben
und einmal
statt x ab jetzt [mm] t^2 [/mm] schreiben.
Was verleitet jetzt dazu, einmal dx/dt und einmal dt/dx zu schreiben?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 02:01 Do 26.03.2009 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Danke für deine Antwort.
> Ich verstehe das leider nicht.
>
> Einmal sage ich
>
> statt [mm]\wurzel{x}[/mm] ab jetzt t schreiben
> und einmal
> statt x ab jetzt [mm]t^2[/mm] schreiben.
>
> Was verleitet jetzt dazu, einmal dx/dt und einmal dt/dx zu
> schreiben?
naja, Du willst ja ein Integral der Form
[mm] $$\int f(\blue{x})\;\blue{dx}$$
[/mm]
basteln. Wenn dort nun
[mm] $$\int f(\blue{t})\red{dx}$$
[/mm]
stünde, so würdest Du [mm] $f\,$ [/mm] nicht bzgl. der Variablen [mm] $t\,$, [/mm] von welcher die Funktion abhängt, integrieren, sondern bzgl. einer anderen Variablen [mm] $x\,$ [/mm] (wobei es durchaus sein kann, dass diese beiden in Beziehung zueinander stehen, bzw. gerade bei Substitutionen stehen diese ja quasi immer in Beziehung zueinander).
Die Variable, von der die Funktion abhängt, sollte im Einklang mit der Integrationsvariable stehen.
Schauen wir Dein erstes Beispiel nochmal an:
[mm] $$\int \sin(\sqrt{x})dx\,.$$
[/mm]
Substituierst Du nun [mm] $\green{t=\sqrt{x}}$, [/mm] so steht da erstmal
[mm] $$\int \sin(\blue{t})\red{dx}\,.$$ [/mm]
Jetzt muss man irgendwie $dx$ in einen Term 'wandeln', so dass dort $dt$ drin vorkommt. Probierst Du nun
[mm] $$\frac{d\sqrt{x}}{dt}=1\,,$$
[/mm]
so steht dort nicht [mm] $dx\,,$ [/mm] sondern [mm] $d\sqrt{x}\,$ $\Rightarrow$ [/mm] klappt nicht.
Aber
[mm] $$\frac{dt}{dx}=\frac{1}{2\sqrt{x}}$$
[/mm]
läßt sich (formal) wunderbar nach $dx$ auflösen:
[mm] $$dx=2\sqrt{x}dt$$
[/mm]
liefert
[mm] $$\int \sin(\sqrt{x})dx=\int \sin(\blue{t})\;2\sqrt{\red{x}}\;\blue{dt}\,.$$
[/mm]
Das sieht jetzt immer noch blöd aus, weil im Integranden immer noch ein [mm] $\red{x}\,$ [/mm] steht, wir aber nach [mm] $\blue{t}$ [/mm] integrieren. Zum Glück hilft es uns hier, nochmal nachzugucken, dass wir [mm] $\green{t=\sqrt{x}}$ [/mm] substituiert hatten, so dass wir damit
[mm] $$\int \sin(\sqrt{x})dx=\int \sin(\blue{t})\;2\underbrace{\sqrt{\red{x}}}_{=t}\;\blue{dt}=\int \sin(\blue{t})\;2\blue{t}\;\blue{dt}$$
[/mm]
erhalten. Wunderbar: Im Integranden stehen nur noch Abhängigkeiten von der Variablen [mm] $t\,,$ [/mm] nach welcher wir auch integrieren. Weiter ging es hier übrigens bspw. mit partieller Integration.
P.S.:
Mathematisch gesehen ist übrigens die Substitution [mm] $x=\varphi(t)=t^2$ [/mm] bzgl. der Substitutionsregel, wie sie z.B. bei ![[]](/images/popup.gif) Wiki, Substitution steht, 'sauberer' (denn dort soll man ja [mm] $x\,$ [/mm] durch eine Funktion [mm] $\varphi(t)$ [/mm] ersetzen und nicht eine andere Variable [mm] $t\,$ [/mm] durch eine Funktion [mm] $\phi(x)$; [/mm] wobei man für [mm] $t=\phi(x)$ [/mm] manchmal auch einfach [mm] $x=\phi^{-1}(t)$ [/mm] schreiben kann, wenn [mm] $\phi$ [/mm] auf dem entsprechend betrachtetenden Bereich eine Umkehrfunktion [mm] $\phi^{-1}$ [/mm] hat), da somit:
[mm] $$\int \sin(\sqrt{x})dx=\int (\sin \circ \sqrt{\,})(x)dx=\int (\sin \circ \sqrt{\,})(\varphi(t))\varphi'(t)dt=\int (\sin \circ \sqrt{\,})(t^2)2tdt=\int \sin(t)2tdt\,.$$
[/mm]
Gruß,
Marcel
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Dankeschön für deine Antwort!
>> denn dort soll man ja $ [mm] x\, [/mm] $ durch eine Funktion $ [mm] \varphi(t) [/mm] $ ersetzen >> und nicht eine andere Variable $ [mm] t\, [/mm] $ durch eine Funktion $ [mm] \phi(x) [/mm] $;
ich glaub, das macht den Unterschied aus, oder?
Wenn ich irgendetwas nehme, und dafür einfach NUR z schreibe, dann dt/dx.
Wenn man aber NUR eine einzige Variable durch eine andere Funktion ersetzt (hier z.B. x durch [mm] t^2 [/mm] oder in anderen Aufgaben x durch tan(t) )
dann muss es dx / dt heißen, ja?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:20 Sa 28.03.2009 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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