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| Aufgabe | [mm] \int_0^{\sqrt{40}}\frac{x}{\sqrt{x^2+9}}\,\text{d}x [/mm] = [mm] \int_a^b \,\text{d}t
[/mm]
Durch welche Substitution wird das linke Integral in das rechte überführt?
[mm] (1)\quad x=t^2+9\qquad(2)\quad x=\sqrt{t^2+9}\qquad(3)\quad x=3\sinh t\qquad(4)\quad t=x^2+9\qquad(5)\quad t=\sqrt{x^2+9}\qquad(6)\quad t=3\sinh [/mm] x
Welchen Wert hat die obere Grenze b? |
Hallöchen.
Mich beschäftigt diese Aufgabe.
Ich hätte nie gedacht, dass mir die Substitution von Integralen solch Kopfschmerzen bereiten könnte.
Ich bin bisher alle Lösungsvorschläge außer die mit sinh durchgegangen und komme einfach nicht auf einen grünen Zweig. Deswegen frage ich schonmal im Voraus ob ihr mir gute Seiten zur Einleitung in die partielle Integration empfehlen könnt:
Bisher benutzt habe ich :
wikipedia,
lern-online.net
brinkman-du.de
youtube (joernloviscach)
Irgendwie fehlt mir ein Puzzleteil für die Erkenntnis, aber ich weiß einfach nicht welches.
Zur Aufgabe:
[mm] \integral{\bruch{x}{\wurzel{x^2+9}}} [/mm] soll ja überführt werden in [mm] \integral{dt}, [/mm] die Grenzen mal außen vor gelassen.
Demnach müstte
[mm] \integral{\bruch{x}{\wurzel{x^2+9}}} [/mm] darstellbar sein als [mm] \integral{f(u(x))*u'(x)} [/mm]
So würde ja gelten, dass [mm] x^2+9=u(x) [/mm] ist und u'(x)=2x
Dies stimmt leider nicht mit der Funktion überein.
Naja nach unserer Vorlesung soll man einfach rumprobieren und halt eine Substiutionsvariable suchen.
Das habe ich dann folgendermaßen gemacht:
[mm] x=t^2+9
[/mm]
[mm] \bruch{dt}{dx}=2t \Rightarrow \bruch{dt}{2t}=dx
[/mm]
[mm] \RIghtarrow \integral{\bruch{2t}{\wurzel{x^2+9}*2tdt}} [/mm] würde dann für (1) rauskommen.
Das selbe habe ich für 1,2,4,5 getan und kam auf kein vereinfachtes Integral.
Meine nächste Idee war folgende:
[mm] \integral{\bruch{x}{\wurzel{x^2+9}}} [/mm] soll [mm] \integral{dt} [/mm] sein.
D.h [mm] dx=\bruch{\wurzel{x^2+9}}{x}*dt [/mm] bzw. [mm] \bruch{dx}{dt}=\bruch{\wurzel{x^2+9}}{x}
[/mm]
Das hilft mir aber auch nicht weiter.
Ich bin gerade total gefrustet und weiß wirklich nicht weiter.
Über einen Hinweis würde ich mich freuen.
Viele Grüße
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Hallo Masseltof,
> [mm]\int_0^{\sqrt{40}}\frac{x}{\sqrt{x^2+9}}\,\text{d}x[/mm] =
> [mm]\int_a^b \,\text{d}t[/mm]
>
> Durch welche Substitution wird das linke Integral in das
> rechte überführt?
>
> [mm](1)\quad x=t^2+9\qquad(2)\quad x=\sqrt{t^2+9}\qquad(3)\quad x=3\sinh t\qquad(4)\quad t=x^2+9\qquad(5)\quad t=\sqrt{x^2+9}\qquad(6)\quad t=3\sinh[/mm]
> x
>
> Welchen Wert hat die obere Grenze b?
> Hallöchen.
>
> Mich beschäftigt diese Aufgabe.
> Ich hätte nie gedacht, dass mir die Substitution von
> Integralen solch Kopfschmerzen bereiten könnte.
>
> Ich bin bisher alle Lösungsvorschläge außer die mit sinh
> durchgegangen und komme einfach nicht auf einen grünen
> Zweig. Deswegen frage ich schonmal im Voraus ob ihr mir
> gute Seiten zur Einleitung in die partielle Integration
> empfehlen könnt:
> Bisher benutzt habe ich :
> wikipedia,
> lern-online.net
> brinkman-du.de
> youtube (joernloviscach)
>
> Irgendwie fehlt mir ein Puzzleteil für die Erkenntnis,
> aber ich weiß einfach nicht welches.
>
> Zur Aufgabe:
>
> [mm]\integral{\bruch{x}{\wurzel{x^2+9}}}[/mm] soll ja überführt
> werden in [mm]\integral{dt},[/mm] die Grenzen mal außen vor
> gelassen.
>
> Demnach müstte
>
> [mm]\integral{\bruch{x}{\wurzel{x^2+9}}}[/mm] darstellbar sein als
> [mm]\integral{f(u(x))*u'(x)}[/mm]
> So würde ja gelten, dass [mm]x^2+9=u(x)[/mm] ist und u'(x)=2x
> Dies stimmt leider nicht mit der Funktion überein.
>
> Naja nach unserer Vorlesung soll man einfach rumprobieren
> und halt eine Substiutionsvariable suchen.
>
> Das habe ich dann folgendermaßen gemacht:
>
> [mm]x=t^2+9[/mm]
>
> [mm]\bruch{dt}{dx}=2t \Rightarrow \bruch{dt}{2t}=dx[/mm]
>
> [mm]\RIghtarrow \integral{\bruch{2t}{\wurzel{x^2+9}*2tdt}}[/mm]
> würde dann für (1) rauskommen.
>
> Das selbe habe ich für 1,2,4,5 getan und kam auf kein
> vereinfachtes Integral.
>
> Meine nächste Idee war folgende:
>
> [mm]\integral{\bruch{x}{\wurzel{x^2+9}}}[/mm] soll [mm]\integral{dt}[/mm]
> sein.
>
> D.h [mm]dx=\bruch{\wurzel{x^2+9}}{x}*dt[/mm] bzw.
> [mm]\bruch{dx}{dt}=\bruch{\wurzel{x^2+9}}{x}[/mm]
> Das hilft mir aber auch nicht weiter.
>
> Ich bin gerade total gefrustet und weiß wirklich nicht
> weiter.
>
> Über einen Hinweis würde ich mich freuen.
Nun, du kannst zunächst mal unter der Wurzel 9 ausklammern und es als [mm]\frac{1}{3}[/mm] aus dem Integral ziehen, du bekommst damit (ohne Grenzen)
[mm]\frac{1}{3}\cdot{}\int{\frac{x}{\sqrt{\left(\frac{x}{3}\right)^2+1}} \ dx}[/mm]
Wenn du dich nun an den Zusammenhang [mm]\cosh^2(z)-\sinh^2(z)=1[/mm], also [mm]\cosh^2(z)=\sinh^2(z)+1[/mm] erinnerst und daran, dass [mm]\frac{d}{dz}\sinh(z)=\cosh(z)[/mm] und umgekehrt gilt, dann solltest du doch schnell auf die passende Substitution kommen ...
>
> Viele Grüße
LG
schachuzipus
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Hallo und danke für die Antwort.
Den 1.Schritt konnte ich nachvollziehen.
Nun habe ich deinen Ratschlag befolgt:
[mm] \bruch{x}{3}=sinh(t)
[/mm]
x=3sinh(t) [mm] \Rightarrow \bruch{dx}{dt}=3cosh(t) \Rightarrow [/mm] dt*3cosh(t)=dx
[mm] \bruch{1}{3}\integral{\bruch{x}{\wurzel{sinh^2(t)+1}}*3cosh(t)dt}
[/mm]
[mm] =\integral{\bruch{x}{\wurzel{cosh^2(t)}}*cosh(t)}=\integral{xdt}
[/mm]
Irgendwo scheine ich einen Fehler gemacht zu haben. Leider entdecke ich Ihn gerade nicht.
Ich habe nicht zufällig die falsche Variable substituiert?
Über Hilfe würde ich mich sehr freuen.
Viele Grüße und danke im Voraus.
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Hallo Masseltof,
> Hallo und danke für die Antwort.
>
> Den 1.Schritt konnte ich nachvollziehen.
>
> Nun habe ich deinen Ratschlag befolgt:
>
> [mm]\bruch{x}{3}=sinh(t)[/mm]
> x=3sinh(t) [mm]\Rightarrow \bruch{dx}{dt}=3cosh(t) \Rightarrow[/mm]
> dt*3cosh(t)=dx
>
> [mm]\bruch{1}{3}\integral{\bruch{x}{\wurzel{sinh^2(t)+1}}*3cosh(t)dt}[/mm]
>
> [mm]=\integral{\bruch{x}{\wurzel{cosh^2(t)}}*cosh(t)}=\integral{xdt}[/mm]
>
> Irgendwo scheine ich einen Fehler gemacht zu haben. Leider
> entdecke ich Ihn gerade nicht.
> Ich habe nicht zufällig die falsche Variable
> substituiert?
Nein.
Bei der Substitution mußt Du auch das x im Zähler ersetzen.
Dann steht da:
[mm]\bruch{1}{3}\integral{\bruch{\blue{3\sinh\left(t\right)}}{\wurzel{sinh^2(t)+1}}*3cosh(t)dt}=\integral{\blue{3\sinh\left(t\right)} \ dt}[/mm]
>
> Über Hilfe würde ich mich sehr freuen.
>
> Viele Grüße und danke im Voraus.
Gruss
MathePower
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Hallo und danke vielmals für die Antwort.
Wie gesagt habe ich etwas Probleme bei der Substitution (mache es leider erst zum 1Mal).
Wie komme ich denn nun von [mm] \integral{3sinh(t)dt} [/mm] nach [mm] \integral{dt}.
[/mm]
Dazu würde ich in dem AUsgangsintegral noch ein x^-1 benötigen.
Das verwirrt mich doch gerade etwas sehr.
Denn das Integral ist ja eigentlich schon vereinfacht. Damit könnte man es aufleiten und Rücksubstituieren.
Aber leider sagt die AUfgabenstellung ja [mm] \integral{dt} [/mm] soll heraus kommen.
Soll ich nach einer Alternative suchen?
Viele Grüße und danke für die Geduld
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:59 Mo 31.01.2011 | | Autor: | Blech |
Hi,
> Wie komme ich denn nun von $ [mm] \integral{3sinh(t)dt} [/mm] $ nach $ [mm] \integral{dt}. [/mm] $
überhaupt nicht (außer durch nochmalige Substitution). (5) ist richtig. Irgendwo hat Du Dich da beim Ausprobieren verrechnet.
> Meine nächste Idee war folgende:
> $ [mm] \integral{\bruch{x}{\wurzel{x^2+9}}} [/mm] $ soll $ [mm] \integral{dt} [/mm] $ sein.
> D.h $ [mm] dx=\bruch{\wurzel{x^2+9}}{x}\cdot{}dt [/mm] $ bzw. $ [mm] \bruch{dx}{dt}=\bruch{\wurzel{x^2+9}}{x} [/mm] $
> Das hilft mir aber auch nicht weiter.
Das bringt Dich schon weiter. Du kannst jetzt alle Substitutionen einsetzen, wo x als Funktion von t, x(t), angegeben ist.
Umgekehrt für die, wo t(x) gegeben ist:
$ [mm] \bruch{dt}{dx}=\bruch{x}{\wurzel{x^2+9}}$
[/mm]
Im Prinzip ist das nur Deine alte Formel,
> Demnach müstte
> $ [mm] \integral{\bruch{x}{\wurzel{x^2+9}}} [/mm] $ darstellbar sein als $ [mm] \integral{f(u(x))\cdot{}u'(x)} [/mm] $
(übrigens, welches Problem hast Du mit Integrationsvariablen? dx, dx, dx, das schreibt sich ganz leicht. Und gerade weil Du mit den Teilen rumsubstituierst sind sie wichtig. =)
Wenn Du hier feststellst, daß f(t)=1 sein muß, dann folgt automatisch
[mm] $t'(x)=\frac{x}{\sqrt{x^2+9}},$
[/mm]
bzw. das Umgekehrte für x'(t).
ciao
Stefan
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:21 Mo 31.01.2011 | | Autor: | Masseltof |
Danke vielmals für die Antwort.
Liebe Grüße :)
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