Integration arctan < Integralrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 09:54 Mo 16.01.2006 | | Autor: | elko |
Hi 2 all habe mir eben eine Lösung eines Integrals angeschaut aber nicht ganz verstanden!!
I= [mm] \integral_ [/mm] { [mm] \bruch{2x+1}{x^2-x+1} [/mm] dx}
ergänzen [mm] \integral_ [/mm] { [mm] \bruch{2x+1 (2-2) }{x^2-x+1} [/mm] dx}
[mm] I1=\integral_ [/mm] { [mm] \bruch{2x-1 }{x^2-x+1} [/mm] dx} + [mm] I2=\integral_ [/mm] { [mm] \bruch{2 }{x^2-x+1} [/mm] dx}
soweit klar
Substitution: [mm] z=x^2-x+1
[/mm]
[mm] I1=\integral_ [/mm] { [mm] \bruch{2x-1 }{x^2-x+1} [/mm] dx} = [mm] \integral_ [/mm] { [mm] \bruch{1 }{z} [/mm] dz}
[mm] =ln|x^2-x+1|
[/mm]
[mm] I2=2\integral_ [/mm] { [mm] \bruch{1 }{x^2-x( \bruch{1}{4})+ \bruch{1}{4}+1} [/mm] dx} = 2 [mm] \integral_ [/mm] { [mm] \bruch{1}{( (\bruch{2x-1}{2})^2)+((\bruch{\wurzel{3}}{2})^2 )}dx}
[/mm]
=2* [mm] \bruch{2}{\wurzel{3}}*arctan* \bruch{(2x-1)*2}{2*\wurzel{3}}
[/mm]
Jetzt frage ich mich wie mann von dem letzten integral auf die arctan funktion kommt??
Kenne ja das stamm integral [mm] \integral_ [/mm] { [mm] \bruch{1}{x^2+1} [/mm] dx} =arctan (x)
aber wie kann ich dann diese Brüche also [mm] (\bruch{2x-1}{2})^2+(\bruch{\wurzel{3}}{2})^2 [/mm] dann in dem Arctan (x) einbeziehen oder umrechnern?Welche zusammenhänge gibt es da?
Gibts da ne fromel ?
Ausserdam ist das Ergebnis doch falsch oder?Mein rechner gibt ne andre Funktion wieder!
Danke schon mal im vorraus!!
|
|
| |
|
Hallo elko!
> [mm]I1=\integral_[/mm] [mm]\bruch{2x-1 }{x^2-x+1}[/mm] dx = [mm]\integral_[/mm] [mm]\bruch{1 }{z}[/mm] dz [mm]=ln|x^2-x+1|[/mm]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> [mm]I2=2\integral_[/mm] [mm]\bruch{1 }{x^2-x( \bruch{1}{4})+ \bruch{1}{4}+1}[/mm] dx
Wie kommst Du denn hier auf die $2_$ vor dem Integral?
[mm] $\bruch{1}{x^2-x+1} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{1}{x^2-x+\bruch{1}{4}-\bruch{1}{4}+1} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{1}{\left(x-\bruch{1}{2}\right)^2+\bruch{3}{4}} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{1}{\left(x-\bruch{1}{2}\right)^2+\left(\bruch{\wurzel{3}}{2}\right)^2} [/mm] \ = \ ...$
Nun klammern wir [mm] $\left(\bruch{\wurzel{3}}{2}\right)^2$ [/mm] im Nenner aus:
$... \ = \ [mm] \bruch{1}{\left(\bruch{\wurzel{3}}{2}\right)^2*\left[\left(\bruch{2x-1}{2}\right)^2*\left(\bruch{2}{\wurzel{3}}\right)^2+1\right]} [/mm] \ = \ [mm] \left(\bruch{2}{\wurzel{3}}\right)^2*\bruch{1}{\left(\bruch{2x-1}{\wurzel{3}}\right)^2+1}$
[/mm]
Und nun substituieren: $t \ := \ [mm] \bruch{2x-1}{\wurzel{3}}$
[/mm]
Gruß vom
Roadrunner
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:48 Mo 16.01.2006 | | Autor: | elko |
Ich habe von
I= [mm] \integral_ [/mm] { [mm] \bruch{2}{x^2-x+1} [/mm] dx} die 2 nach vorne gezogen
also 2* [mm] \integral_ [/mm] { [mm] \bruch{1}{x^2-x+1} [/mm] dx}
aber sag mal wie kommst du auf [mm] (x^2+ \bruch{1}{4})^2
[/mm]
weil das ist ja [mm] x^2+\bruch{1}{2}x+\bruch{1}{16}
[/mm]
eigendlich war der ansatz ja [mm] x^2-x+\bruch{1}{4}-\bruch{1}{4}+1
[/mm]
und danach die aufteilung
[mm] (\bruch{2x-1}{2})^2+(\bruch{ \wurzel{3}}{2})^2 [/mm] was dann dem entspricht
[mm] x^2-x+\bruch{1}{4} +\bruch{3}{4} [/mm] = [mm] x^2-x+1
[/mm]
mhh weil substituiert wurde da garnichts?
'
versthe eigenlcih nur nicht wie mann hier sozusagen dieses integral 2* [mm] \integral_ [/mm] { [mm] \bruch{1}{( (\bruch{2x-1}{2})^2)+((\bruch{\wurzel{3}}{2})^2 )}dx} [/mm] in das Stammintegral
[mm] \integral_ [/mm] { [mm] \bruch{1}{x^2+1} [/mm] dx} =arctan (x)
verwandelt
das muss wohl irgenwie gehen weil mann ja [mm] x^2 [/mm] hat und ein b??!!
in der lösung kommt dann
I2=2* [mm] \bruch{2}{ \wurzel{3}} [/mm] arctan [mm] \bruch{(2x-1)^2}{2*\wurzel{3}}
[/mm]
raus
deshalb denke ich kann mann generrel integrale die mit jeglicher art von
[mm] \integral_ [/mm] { [mm] \bruch{1}{x^2+1} [/mm] dx} also zum beispiel [mm] \integral_ [/mm] { [mm] \bruch{1}{4x^2+10} [/mm] dx} mit =arctan (x) lösen!!??
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:56 Mo 16.01.2006 | | Autor: | elko |
wobei mein ti als ergebnis fuer I2
[mm] \bruch{4* \wurzel{3}*arctan \bruch{\wurzel{3}*(2x-1)}{3}}{3}
[/mm]
ausgibt
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:07 Mo 16.01.2006 | | Autor: | Roadrunner |
Hallo elko!
Es gilt: [mm] $\bruch{\wurzel{3}}{3} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{\wurzel{3}}{\wurzel{3}*\wurzel{3}} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{1}{\wurzel{3}}$
[/mm]
Gruß vom
Roadrunner
|
|
|
| |
|
Hallo elko!
> Ich habe von
> I= [mm]\integral_[/mm] [mm]\bruch{2}{x^2-x+1}[/mm] dx die 2 nach vorne
> gezogen
>
> also 2* [mm]\integral_[/mm] [mm]\bruch{1}{x^2-x+1}[/mm] dx
Ach ja!
> aber sag mal wie kommst du auf [mm](x^2+ \bruch{1}{4})^2[/mm]
>
> weil das ist ja [mm]x^2+\bruch{1}{2}x+\bruch{1}{16}[/mm]
Da hast Du völlig Recht, da habe ich Mist geschrieben! ![[sorry]](/images/smileys/sorry.gif "[sorry]")
Aber sieh mal oben, das habe ich bereits korrigiert!
> deshalb denke ich kann mann generrel integrale die mit
> jeglicher art von
>
> [mm]\integral_[/mm] [mm]\bruch{1}{x^2+1}[/mm] dx also zum beispiel
> [mm]\integral_[/mm] [mm]\bruch{1}{4x^2+10}[/mm] dx mit =arctan (x)
> lösen!!??
Da steckt aber immer eine Substitution dahinter:
[mm] $\bruch{1}{a*x^2+b} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{1}{b}*\bruch{1}{\left(\wurzel{\bruch{a}{b}}*x\right)^2+1}$
[/mm]
Gruß vom
Roadrunner
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:33 Mo 16.01.2006 | | Autor: | elko |
Ist ja kein Problem, mann kann sich schnell vertun!!
aber irgendwie verstehe ich jetzt nicht mehr so viel!!
was kann ich denn da jetzt substituieren?
das $ t \ := \ [mm] \bruch{2x-1}{\wurzel{3}} [/mm] $ ??
vorher muss ich das umformen ne?
$ ... \ = \ [mm] \bruch{1}{\left(\bruch{\wurzel{3}}{2}\right)^2\cdot{}\left[\left(\bruch{2x-1}{2}\right)^2\cdot{}\left(\bruch{2}{\wurzel{3}}\right)^2+1\right]} [/mm] \ = \ [mm] \left(\bruch{2}{\wurzel{3}}\right)^2\cdot{}\bruch{1}{\left(\bruch{2x-1}{\wurzel{3}}\right)^2+1} [/mm] $
bin leicht durcheinander
|
|
|
| |
|
Hallo elko!
Ja, zunächst musst Du umformen wie von mir gezeigt. Und die Substitution habe ich Dir doch bereits gegeben ...
[mm]\blue{t} \ := \ \blue{\bruch{2x-1}{\wurzel{3}}}[/mm]
[mm] $\Rightarrow$ [/mm] $t' \ = \ [mm] \bruch{dt}{dx} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{2}{\wurzel{3}}$
[/mm]
[mm] $\gdw$ $\red{dx} [/mm] \ = \ [mm] \red{\bruch{\wurzel{3}}{2} * dt}$
[/mm]
Eingesetzt in das Integral ergibt sich:
[mm] $\left(\bruch{2}{\wurzel{3}}\right)^2*\integral{\bruch{\red{dx}}{\left(\blue{\bruch{2x-1}{\wurzel{3}}}\right)^2+1}} [/mm] \ = \ [mm] \left(\bruch{2}{\wurzel{3}}\right)^2*\integral{\bruch{\red{\bruch{\wurzel{3}}{2} * dt}}{\blue{t}^2+1}} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{2}{\wurzel{3}}*\integral{\bruch{1}{\blue{t}^2+1} \ \red{dt}} [/mm] \ = \ ...$
Gruß vom
Roadrunner
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:49 Mo 16.01.2006 | | Autor: | elko |
Stimmt danke sehr
war leicht durch einander hatte den überblick verlohren!!
In meiner Lösung hat der autor die Umformung gespart deswegen hatte ich es nicht verstanden!!
|
|
|
|
