Integration ausgekürzter Brüch < Integration < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:08 Do 08.03.2012 | | Autor: | Denis92 |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
(Soviel vorab :D )
Hallo liebes Forum,
ich studiere Mathematik und bin leider in der Analysis I Klausur an meiner eigenen Dummheit gescheitert. Bei der Vorbereitung auf die Nachklausur fiel mir auf, dass ich teilweise große Schwierigkeiten bei der Integration habe.
Integration durch Substitution und partielle Integration sind mir geläufig, jedoch weiß ich bei folgender Fragestellung nichts der gleichen anzuwenden:
[mm] \integral_{}^{}{\bruch{1}{x^2 - 5} dx}
[/mm]
Wie bitte löst man sowas? Wolframalpha rastet leider bei der Eingabe völlig aus :D
Im Fall von
[mm] \integral_{}^{}{\bruch{x}{x^2 - 5} dx}
[/mm]
beispielsweise ist mir alles klar. Was ist jedoch der Ansatz für das erste Integral?
Dann zum zweiten Problem: Integration von Wurzeln.
Ich weiß, dass folgendes Gilt:
[mm] \integral_{}^{}{\wurzel{x+4} dx} [/mm] = [mm] \integral_{}^{}{(x+4)^\bruch{1}{2} dx} [/mm] = [mm] \bruch{1}{\bruch{3}{2}}*(x+4)^\bruch{3}{2} [/mm] = [mm] \bruch{2}{3} [/mm] * [mm] (x+4)^\bruch{3}{2} [/mm]
Was passiert nun aber, wenn innerhalb der Wurzel keine lineare Funktion steht, sondern beispielsweise das hier:
[mm] \integral_{}^{}{\wurzel{a + x^2} dx}
[/mm]
oder noch schlimmer:
[mm] \integral_{}^{}{\bruch{1}{\wurzel{a+x^2} dx}}
[/mm]
Vielen Dank für eure Hilfe 
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> $ [mm] \integral_{}^{}{\bruch{1}{x^2 - 5} dx} [/mm] $
Du kannst hier den Nenner faktorisieren.
Danach bietet sich Partialbruchzerlegung an, um zwei verarbeitbare Brüche und somit auch zwei Integrale drauß zu machen.
Zu den Wurzeln weiß ich so spontan nix feines, deshalb lass ich das erstmal offen.
lg
Schadow
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:39 Do 08.03.2012 | | Autor: | Denis92 |
Vielen Dank für die Antworten!
@Schadowmaster: Deine Antwort zum ersten Integral hat mir sehr weiter geholfen, danke dafür! Dann muss ich mir wohl die Partialbruchzerlegung nochmal genauer ansehen
@Archik: Danke auch dafür, ich weiß was du meinst.
@MathePower: Substitution? Okay lass es mich versuchen:
[mm] \integral_{}^{}{\bruch{1}{\wurzel{x^2+a}} dx} [/mm] = ...
Was muss ich denn im Falle eines a>0 substituieren?
i) u= [mm] \wurzel{x^2+a} [/mm] oder
ii) [mm] u=\bruch{1}{\wurzel{x^2+a}} [/mm] ?
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Hallo Denis92,
> Vielen Dank für die Antworten!
> @Schadowmaster: Deine Antwort zum ersten Integral hat mir
> sehr weiter geholfen, danke dafür! Dann muss ich mir wohl
> die Partialbruchzerlegung nochmal genauer ansehen
> @Archik: Danke auch dafür, ich weiß was du meinst.
>
> @MathePower: Substitution? Okay lass es mich versuchen:
>
> [mm]\integral_{}^{}{\bruch{1}{\wurzel{x^2+a}} dx}[/mm] = ...
>
> Was muss ich denn im Falle eines a>0 substituieren?
>
Im Fall a > 0 substituierst Du so:[mm]x=\wurzel{a}*\sinh\left(t\right)[/mm]
> i) u= [mm]\wurzel{x^2+a}[/mm] oder
> ii) [mm]u=\bruch{1}{\wurzel{x^2+a}}[/mm] ?
>
Gruss
MathePower
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Hallo Denis92,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
> (Soviel vorab :D )
>
> Hallo liebes Forum,
> ich studiere Mathematik und bin leider in der Analysis I
> Klausur an meiner eigenen Dummheit gescheitert. Bei der
> Vorbereitung auf die Nachklausur fiel mir auf, dass ich
> teilweise große Schwierigkeiten bei der Integration habe.
>
> Integration durch Substitution und partielle Integration
> sind mir geläufig, jedoch weiß ich bei folgender
> Fragestellung nichts der gleichen anzuwenden:
>
> Dann zum zweiten Problem: Integration von Wurzeln.
> Ich weiß, dass folgendes Gilt:
> [mm]\integral_{}^{}{\wurzel{x+4} dx}[/mm] =
> [mm]\integral_{}^{}{(x+4)^\bruch{1}{2} dx}[/mm] =
> [mm]\bruch{1}{\bruch{3}{2}}*(x+4)^\bruch{3}{2}[/mm] = [mm]\bruch{2}{3}[/mm] *
> [mm](x+4)^\bruch{3}{2}[/mm]
>
> Was passiert nun aber, wenn innerhalb der Wurzel keine
> lineare Funktion steht, sondern beispielsweise das hier:
> [mm]\integral_{}^{}{\wurzel{a + x^2} dx}[/mm]
> oder noch
> schlimmer:
> [mm]\integral_{}^{}{\bruch{1}{\wurzel{a+x^2} dx}}[/mm]
>
Hier meinst Du wohl:
[mm]\integral_{}^{}{\bruch{1}{\wurzel{a+x^2}} \ dx}}[/mm]
Die Integrale werden durch eine Substitution gelöst.
Je nach Vorzeichen des "a" ist das eine andere Substituition .
>
> Vielen Dank für eure Hilfe
Gruss
MathePower
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:11 Do 08.03.2012 | | Autor: | archik |
Das Problem ist dass bei einem [mm] x^2 [/mm] und einer "einfachen" Substitution, z.b 2x entsteht, und es damit eigentlich nicht weitergeholfen ist...
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:34 Fr 09.03.2012 | | Autor: | Denis92 |
Danke für deinen Ansatz. Leider verstehe ich nicht genau, was nun substituiert werden soll, denn der Term ist in meinem Bruch ja gar nicht vorhanden...? :S
Tut mir leid, wenn das ne doofe Frage ist :S
Könntest du mir eventuell den Substitutionsschritt einmal vormachen?
Wie kommt man überhaupt darauf, mit trigonometrischen Funktionen irgendetwas zu substituieren? Gibt es dafür irgendwelche Regeln, oder eine Übersicht, wann sich welche Substitution anbietet?
Vielen Dank nochmal,
Gruß Denis
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Hallo Denis92,
Sieh dir am besten mal diese Homepage an:
http://matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/print.php?sid=455
Substitution wird hier recht ausführlich und anschaulich erklärt ;)
Es werden auch unzählige Beispiele Schritt für Schritt durchgenommen - auch solche, die du wahrscheinlich suchst.
LG Scherzkrapferl
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:17 Fr 09.03.2012 | | Autor: | Denis92 |
Perfekt! Vielen Dank, ausführlicher geht's kaum ! :)
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:06 Do 08.03.2012 | | Autor: | archik |
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Hi bei dem ersten Integral hast du schon x^2 dort stehen,
du könntest die -5 ausklammern vor das Integral ziehen,
die fünf, die bei x^2 entsteht (unter dem Bruch) "ins X^2 ziehen
und dann wäre es mittels einer Substitution ein Stammintegral..
\integral_1/x^2-5 dx}
Ich hoffe etwas verständlich?
Gruss
archik
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Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Hallo,
> Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise
> auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung
> gefunden (siehe rote Markierung)
>
> Hi bei dem ersten Integral hast du schon x^2 dort stehen,
> du könntest die -5 ausklammern vor das Integral ziehen,
> die fünf, die bei x^2 entsteht (unter dem Bruch) "ins X^2
> ziehen
> und dann wäre es mittels einer Substitution ein
> Stammintegral..
>
> \integral_1/x^2-5 dx}
>
> Ich hoffe etwas verständlich?
>
Meinst du den Trick mit dem arctan ? ;)
Oder gibt es hier noch eine Variante die mir nicht bekannt ist ?
> Gruss
> archik
>
LG Scherzkrapferl
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:43 Sa 10.03.2012 | | Autor: | Denis92 |
Verrätst du mir den Trick mit dem Arctan nochmal ausführlich?
Beispielsweise für [mm] \bruch{1}{ax^2 + b}? [/mm]
Meinst du das hier:
arctan'(x) = [mm] \bruch{1}{x^2 +1}
[/mm]
also:
[mm] \integral_{}^{}{\bruch{1}{ax^2 + b} dx} [/mm] = [mm] \integral_{}^{}{\bruch{1}{b} * \bruch{1}{\bruch{a}{b}x^2 + 1} dx} [/mm] = [mm] \bruch{1}{b} [/mm] * [mm] \integral_{}^{}{\bruch{1}{(\wurzel{\bruch{a}{b}}x)^2 + 1} dx} [/mm] = [mm] \bruch{1}{b} [/mm] * [mm] arctan({\wurzel{\bruch{a}{b}}x})?
[/mm]
Gruß, Denis :)
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:54 Sa 10.03.2012 | | Autor: | archik |
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Exakt,
Wenn etwas in der form : 1 / (x^2 +a )
weißt du direkt es ist arctan
Wenn etwas in der form 1 / \wurzel{x^2 + a)
sollte bei dir arcsinh klingeln.
Du kannst nur dann Subtituieren, wenn du die Ableitung dessen, was du Substituieren möchtest in dem Integral vorfindest....
\integral_{x / (x^2 + 1) dx}
Wie du siehst ist die Abletung von x^2 = 2x und ein x findest du im Zähler.
Ich wünsche dir viel Glück und viel Spass
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> Ja , ist doch meistens wenn etwas im Nenner ^2 Steht,
> kann man es "geschickt" als arctan ausdrücken
gut ^^ war mir nicht ganz sicher ob ich richtig verstanden habe was du gemeint hast.
LG
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:26 Di 13.03.2012 | | Autor: | Denis92 |
Hallo,
leider muss ich den Thread nochmal ausgraben, eine Sache ist noch ungeklärt.
Wenn ich einen Bruch habe, den ich integrieren soll, kann ich diesen meistens ja auf die Form arctan'(x) bringen oder über den log(x) nach partialbruchzerlegung integrieren.
Wie würde man nun so einen Bruch integrieren:
[mm] \integral_{}^{}{\bruch{9x + 2}{x^2 + 1} dx}
[/mm]
Die Partialbruchzerlegung klappt doch lediglich für [mm] \bruch{9x + 2}{x^2 - 1} [/mm] indem ich den Nenner zerlege in (x+1)(x-1). Wie würde ich bei obigem Beispiel vorgehen?
Vielen Dank :)
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Hallo Denis92,
> Hallo,
> leider muss ich den Thread nochmal ausgraben, eine Sache
> ist noch ungeklärt.
>
> Wenn ich einen Bruch habe, den ich integrieren soll, kann
> ich diesen meistens ja auf die Form arctan'(x) bringen oder
> über den log(x) nach partialbruchzerlegung integrieren.
>
> Wie würde man nun so einen Bruch integrieren:
>
> [mm]\integral_{}^{}{\bruch{9x + 2}{x^2 + 1} dx}[/mm]
>
> Die Partialbruchzerlegung klappt doch lediglich für
> [mm]\bruch{9x + 2}{x^2 - 1}[/mm] indem ich den Nenner zerlege in
> (x+1)(x-1). Wie würde ich bei obigem Beispiel vorgehen?
>
Spalte zunächst das Integral auf:
[mm]\integral_{}^{}{\bruch{9x + 2}{x^2 + 1} \ dx}=\integral_{}^{}{\bruch{9x}{x^2 + 1} \ dx}+\integral_{}^{}{\bruch{2}{x^2 + 1} \ dx}[/mm]
Für das erste Integral verwendest Du eine Substitution.
Eine Stammfunktion für das 2. Integral sollte Dir bekannt sein.
>
> Vielen Dank :)
>
Gruss
MathePower
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:05 Di 13.03.2012 | | Autor: | archik |
Hi Versuch ein paar Integrale in dieser Form zu lösen, du solltest Übung, "Auge" für bekommen
[mm] \integral{\bruch{1}{1+\wurzel{x-2}} dx} \integral{\bruch{x+1}{x*\wurzel{x-2}} dx}
[/mm]
[mm] \integral{\bruch{\wurzel{x}}{\wurzel{x}-\wurzel[3]{x}} dx}
[/mm]
Werden alle durch Substitution gelöst...
gruss archik
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:20 Do 15.03.2012 | | Autor: | Denis92 |
Vielen Dank, da bin ich nicht drauf gekommen!
:)
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