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| Aufgabe | [mm]f(x) = ln ( \bruch{-1}{1+x} )[/mm]
Der Graph von f , die x-Achse und die Gerade x = 1 schließen im zweiten
Quadranten ein sich ins Unendliche erstreckendes Flächenstück
mit endlichem Inhalt ein. Berechnen Sie den Inhalt dieses Flächenstücks. |
Hallo zusammen!
Ich komme bei dieser Integration nicht weiter. Der Definitionsbereich ist klar.
D ]- [mm]/inf[/mm] ;-1[
Jetzt fehlt mir nur noch eine Integrationsregel für den ln.
Das ln(x) = x * ln (x) - x ist weiß ich, aber ich komme an dieser Aufgabe trotzdem nicht weiter.
Ansatz wäre:
[mm]ln ( \bruch{-1}{1+x}) = ln(1) - ln(-x-1) [/mm]
aber was dann?
Vielen Dank für die Hilfe!
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:57 So 15.04.2007 | | Autor: | Sigrid |
Hallo JustinSane,
> [mm]f(x) = \ln ( \bruch{-1}{1+x} )[/mm]
>
> Der Graph von f , die x-Achse und die Gerade x = 1
> schließen im zweiten
> Quadranten ein sich ins Unendliche erstreckendes
> Flächenstück
> mit endlichem Inhalt ein. Berechnen Sie den Inhalt dieses
> Flächenstücks.
> Hallo zusammen!
> Ich komme bei dieser Integration nicht weiter. Der
> Definitionsbereich ist klar.
> D ]- [mm]/inf[/mm] ;-1[
> Jetzt fehlt mir nur noch eine Integrationsregel für den
> ln.
> Das ln(x) = x * ln (x) - x ist weiß ich, aber ich komme an
> dieser Aufgabe trotzdem nicht weiter.
Du meinst: Die Stammfunktion von $ f(x) = ln(x) $ ist $ F(x) = x [mm] \cdot [/mm] ln(x) - x $
Die beiden sind sicher nicht gleich.
> Ansatz wäre:
> [mm]ln ( \bruch{-1}{1+x}) = ln(1) - ln(-x-1)[/mm]
> aber was dann?
Damit hast du doch schon einen entscheidenden Schritt. $ [mm] \ln(1) [/mm] $ ist eine Konstante, die lässt sich leicht integrieren. Den 2. Teil
$ g(x) = [mm] \ln(-x-1) [/mm] $
kannst du mit der Substitutionsregel integrieren. Wenn du die noch nicht hattest, mache einfach den Versuch
[mm] $G_V(x) [/mm] = (-x-1) [mm] \ln(-x-1) [/mm] - (-x-1) $
Wenn du diese Funktion ableitest, siehst du ja, ob es die Stammfunktion ist, oder ob du einen Hinweis für die richtige Stammfunktion findest.
Gruß
Sigrid
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> Vielen Dank für die Hilfe!
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:04 So 15.04.2007 | | Autor: | JustinSane |
DANKE!
Klar, ich meinte die Stammfunktion von ln(x)=... :)
Hab wohl den Wald vor lauter Bäumen nicht gesehen, danke für den Tip....
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Ich habe zu der Aufgabe noch einen anderen Ansatz gefunden. Den würde ich gern auch verstehen.
![[]](/images/popup.gif) http://www.abiturloesung.de/aufgaben/loesung.php?IDaufg=373
Allerdings hab ich keine Ahnung, warum sich die Fkt. und die Grenzen ändern.
Wäre nett, wenn mir da mal jemand auf die Sprünge helfen könnte :)
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:15 So 15.04.2007 | | Autor: | Kroni |
> Ich habe zu der Aufgabe noch einen anderen Ansatz gefunden.
> Den würde ich gern auch verstehen.
>
> http://www.abiturloesung.de/aufgaben/loesung.php?IDaufg=373
> Allerdings hab ich keine Ahnung, warum sich die Fkt. und
> die Grenzen ändern.
> Wäre nett, wenn mir da mal jemand auf die Sprünge helfen
> könnte :)
Hi,
der Graph [mm] Gf^{-1} [/mm] zeigt ja die Umkehrfunkiton von f.
D.h. [mm] f^{-1} [/mm] ist der Graph von f, nur an der Winkelhalbierenden gespiegelt.
Da du die ln Funktion relativ "schlecht" integrieren kannst, kannst du diese Fläche, die du berechnen sollst, als Fläche der Umkehrfunktion deuten.
Diese ist dort ja auch in deinem Link markiert worden.
Nun gut, die Grenzen ergeben sich daraus, dass man von 0 bis unendlich integriert. Das "sieht" man, wenn man sich die Funktion selbst ansieht:
Hier müsstest du von -2 bis -1 integrieren, da der Funktionswert von -2 der Funktion 0 ist und der Funktionswert von f für x gegen -1 gegen unendlich geht, musst du dann bei der Umkehrfunktion von 0 bis unendlich integrieren (das liegt einfach an der Spiegelung an der Winkelhalbierenden).
Nun gut, Da man aber nicht die Fläche zwischen der x-Achse un der Umkehrfunktion berechnen soll, sondern die Fläche, die die Umkehrfunktion mit der Funktion y=-1 einschließt (guck dir das nochmal an der Skizze an, da sieht man das auch), musst du [mm] \integral_{0}^{b}{-1-(f^{-1}(x) dx} [/mm] berechnen, und hinterher b gegen unendlich laufen lassen.
Dann kommt ebenfalls 1 als Grenzwert heraus, was aussagt, dass es sich hier um ein uneigentliches Integral handelt.
Liebe Grüße,
Kroni
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