Integration durch Substitution < Integration < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 09:28 Di 06.05.2014 | | Autor: | Coxy |
| Aufgabe | | [mm] \integral_{-\infty}^{\infty}{\bruch{1}{(x^2+1)^2} dx} [/mm] |
Ich würde zu erst x= -sin(t) substituieren
[mm] \integral_{-\infty}^{\infty}{\bruch{1}{(-sin(t)^2+1)^2} dx}
[/mm]
und es gilt ja [mm] cos^2(t)^2=1-sin^2(t)
[/mm]
Also hat man
[mm] \integral_{-\infty}^{\infty}{\bruch{1}{cos^2(t)} dx}
[/mm]
Meine frage ist bloß, was genau muss ich mit meinem dx machen?
Wird es wie folgt
[mm] \bruch{dt}{dx}=-cos(t) [/mm] ??
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:36 Di 06.05.2014 | | Autor: | hippias |
> [mm]\integral_{-\infty}^{\infty}{\bruch{1}{(x^2+1)^2} dx}[/mm]
> Ich
> würde zu erst x= -sin(t) substituieren
> [mm]\integral_{-\infty}^{\infty}{\bruch{1}{(-sin(t)^2+1)^2} dx}[/mm]
>
> und es gilt ja [mm]cos^2(t)^2=1-sin^2(t)[/mm]
> Also hat man
> [mm]\integral_{-\infty}^{\infty}{\bruch{1}{cos^2(t)} dx}[/mm]
Hat man nicht, denn Minus mal Minus ergibt ja immer noch ...?
>
> Meine frage ist bloß, was genau muss ich mit meinem dx
> machen?
> Wird es wie folgt
> [mm]\bruch{dt}{dx}=-cos(t)[/mm] ??
Dies waere [mm] $\frac{dx}{dt}$.
[/mm]
Mein spontaner Ansatz fuer dieses Integral waere nicht Substitution, sondern Partialbruchzerlegung..
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Hallo,
man kann hier durchaus trigonometisch substutieren, allerdings mit x=tan(t)
und [mm] $1+tan^2=sec^2$.
[/mm]
Die partielle Integration ist hier aber mMn der schönere Ansatz.
Grobe Merkrelgel:
Ist was von der Form [mm] $x^2-a^2$ [/mm] sin substitieren, bei [mm] $x^2+a^2$ [/mm] tan substituieren.
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