Integration durch Substitution < Integration < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 19:50 Do 08.05.2014 | | Autor: | Schuricht |
| Aufgabe | | Finden sie eine Stammfunktion von [mm] g(x)=(x^2+1)^{-2}. [/mm] |
Meine Idee:
Sei x=tan t =:e(t) [mm] \Rightarrow e'(t)=\bruch{1}{cos^2 t}. [/mm] Sei [mm] f(x):=\bruch{1}{x^2+1} \Rightarrow [/mm] F(x)=arctan x.
[mm] \Rightarrow [/mm] F(e(x))=arctan(tan(x))
Das ist jedoch falsch. Wie könnte ich noch vorgehen? Habe ich falsch substituiert?
Danke für Eure Hilfe!
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Hallo Schuricht,
> Finden sie eine Stammfunktion von [mm]g(x)=(x^2+1)^{-2}.[/mm]
> Meine Idee:
> Sei x=tan t =:e(t) [mm]\Rightarrow e'(t)=\bruch{1}{cos^2 t}.[/mm]
> Sei [mm]f(x):=\bruch{1}{x^2+1} \Rightarrow[/mm] F(x)=arctan x.
>
> [mm]\Rightarrow[/mm] F(e(x))=arctan(tan(x))
>
> Das ist jedoch falsch. Wie könnte ich noch vorgehen? Habe
> ich falsch substituiert?
>
Nach Anwendung Deiner Subsitution steht doch da:
[mm]\integral_{}^{}{\bruch{1}{1+\tan^{2}\left(t\right)} \ dt[/mm]
> Danke für Eure Hilfe!
Gruss
MathePower
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So darf ich das nicht schreiben. Der Satz lautet:
Satz (Integration durch Substitution)
Sei f: [mm] D\subset \IK \rightarrow \IK, [/mm] D Gebiet mit Stammfunktion [mm] F:D\rightarrow \IK [/mm] und sei e: D [mm] \rightarrow [/mm] D diff'bar. Dann hat man f(e(.))e'(.):D [mm] \rightarrow \IK [/mm] Stammfunktion mit [mm] \integral{f(e(x))e'(x)dx}=F(e(x)).
[/mm]
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Hallo Schuricht,
> So darf ich das nicht schreiben. Der Satz lautet:
>
> Satz (Integration durch Substitution)
> Sei f: [mm]D\subset \IK \rightarrow \IK,[/mm] D Gebiet mit
> Stammfunktion [mm]F:D\rightarrow \IK[/mm] und sei e: D [mm]\rightarrow[/mm] D
> diff'bar. Dann hat man f(e(.))e'(.):D [mm]\rightarrow \IK[/mm]
> Stammfunktion mit [mm]\integral{f(e(x))e'(x)dx}=F(e(x)).[/mm]
Es ist doch
[mm]f\left(x\right)=\bruch{1}{\left(1+x^{2}\right)^{2}}[/mm]
Weiterhin ist [mm]x=\tan\left(t\right)[/mm]
Daraus ergibt sich:[mm]dx=\left(1+\left(tan^{2}\left(t\right)\right) \ dt[/mm]
Damit wird:
[mm]\integral_{}^{}{\bruch{1}{\left(1+x^{2}\right)^{2}} dx}=\integral_{}^{}{\bruch{1}{\left(1+\tan^{2}\left(t\right)\right)^{2}} \left(1+\tan^{2}\left(t\right)\right) \ dt}=\integral_{}^{}{\bruch{1}{1+\tan^{2}\left(t\right)} \ dt}[/mm]
Gruss
MathePower
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Ja, aber wir haben das mit dt noch nicht eingeführt. wie kommst du auf
dx = ...?
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Hallo Schuricht,
> Ja, aber wir haben das mit dt noch nicht eingeführt. wie
> kommst du auf
>
> dx = ...?
Es ist doch
[mm]x'\elft(t\right)=\bruch{dx}{dt}=\bruch{d \tan\left(t\right)}{dt}[/mm]
Damit ergibt sich:
[mm]dx = \bruch{d \tan\left(t\right)}{dt} \ dt[/mm]
Gruss
MathePower
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:51 Do 08.05.2014 | | Autor: | Schuricht |
Wir haben solch eine Notation nicht, ich weiß nicht, was du meinst und die Antwrten sind so knapp, dass ich das damit nicht verstehe.
Trotzdem danke.
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Kann mir bitte jemand helfen?
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:51 Do 08.05.2014 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
> Kann mir bitte jemand helfen?
Ich kann mir nicht vorstellen, dass in einem Studium die Noation [mm] \frac{du}{dx} [/mm] nicht bekannt ist.
Nehmen wir mal ein Beispiel:
Gesucht ist:
[mm] $\int e^{3x+5}dx$
[/mm]
Eine Stammfunktion zu [mm] e^z [/mm] ist [mm] e^z, [/mm] das sollte bekannt sein.
Also substituieren wir mal u=3x+5
Dann hast wir aus [mm] $\int e^{3x+5}dx$ [/mm] das Integral
[mm] $\int e^{z}dx$. [/mm] Das Problem ist aber, dass die Integrationsvariable x ist, und nicht z. Außerdem hängt z von x ab.
Also musst du das Substitut mal nach x ableiten, dann bekommst du
[mm] \overbrace{\frac{du}{dx}}^{=u'(x)}=3
[/mm]
Das nach dx aufgelöst, ergibt
[mm] $dx=\frac{1}{3}\cdot [/mm] du$
Damit bekommst du dann:
[mm] \int e^{3x+5}=\int e^{z}\cdot\frac{1}{3}\cdot dz=\frac{1}{3}\cdot\int e^{z}dz
[/mm]
Und nun kannst du die Stammfunktion bilden unr rücksubstituieren, es gilt
[mm] $\int e^{3x+5}=\frac{1}{3}\cdot\int e^{z}dz=\frac{1}{3}\cdot e^{z}=\frac{1}{3}\cdot e^{3x+5}$
[/mm]
Anderes Beispiel:
[mm] \int\frac{3x^{2}}{x^{3}-1}dx
[/mm]
Wenn du hier [mm] u=x^{3}-1 [/mm] substituierst, bekommst du
[mm] \frac{du}{dx}=3x^{2}\Leftrightarrow dx=\frac{du}{3x^{2}}
[/mm]
Also
[mm] \int\frac{3x^{2}}{x^{3}-1}dx
[/mm]
[mm] =\int\frac{3x^{2}}{u}\cdot\frac{du}{3x^{2}}
[/mm]
[mm] =\int\frac{1}{u}du
[/mm]
[mm] =\ln(|u|)
[/mm]
[mm] =\ln(|x^{3}-1|)
[/mm]
Schau das auch mal auf ![[]](/images/popup.gif) nibis.ni.de an.
Marius
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 00:58 Fr 09.05.2014 | | Autor: | Sax |
Hi,
wenn dir die (wirklich außerordentlich praktische) Schreibweise noch nicht geläufig ist, versuchen wir es mal folgendermaßen :
> So darf ich das nicht schreiben. Der Satz lautet:
>
> Satz (Integration durch Substitution)
> Sei f: [mm]D\subset \IK \rightarrow \IK,[/mm] D Gebiet mit
> Stammfunktion [mm]F:D\rightarrow \IK[/mm] und sei e: D [mm]\rightarrow[/mm] D
> diff'bar. Dann hat man f(e(.))e'(.):D [mm]\rightarrow \IK[/mm]
> Stammfunktion mit [mm]\integral{f(e(x))e'(x)dx}=F(e(x)).[/mm]
Die letzte Formel wird meist von rechts nach links angewandt und deshalb nehmen wir mal folgende Änderung in der Bezeichnung vor : statt x schreiben wir t. Wohlgemerkt : das ist keine Substitution und hat nichts mit Integralrechnung zu tun, es ist lediglich ein Umtaufen der Variablen, so wie man die Formel des Pythagoras auch in der Form [mm] u^2+v^2=w^2 [/mm] schreiben kann, wenn die Dreiecksseiten entsprechend bezeichnet sind.
Die Gleichung wird also zu [mm] \integral{f(e(t))e'(t)dt}=F(e(t)) [/mm] (*)
Nun ist F eine Stammfunktion von f, also ist F'(x)=f(x), bzw. [mm] \integral{f(x)dx}=F(x) [/mm] (**)
(Die Umbenennung hat stattgefunden, damit wir den Buchstaben x in dieser Zeile verwenden können.)
Nun siehst du Folgendes : die rechten Seiten der Gleichungen (*) und (**) stimmen überein, wenn x=e(t) ist. In diesem Fall müssen auch die linken Seiten übereinstimmen und wir erhalten also folgende Sunstitutionsregel :
[mm] \integral{f(x)dx}=\integral{f(e(t))e'(t)dt}
[/mm]
Formal gehst du also folgendermaßen vor um das Integral [mm] \integral{f(x)dx} [/mm] zu berechnen : 1. ersetze x durch e(t) und 2. ersetze dx durch e'(t)dt.
Genau das wurde in den vorherigen Beiträgen gemacht.
Für dein Integral ergibt sich daraus nun folgendes :
Im Integral [mm] \integral{\bruch{1}{(1+x^2)^2}dx} [/mm] wird x ersetzt durch e(t)=tan(t). Damit wird [mm] e'(t)=\bruch{1}{cos^2(t)} [/mm] und dx muss also ersetzt werden durch [mm] \bruch{1}{cos^2(t)}dt.
[/mm]
Du erhälst also das Integral [mm] \integral{\bruch{1}{(1+tan^2(t))^2}* \bruch{1}{cos^2(t)}dt}=\integral({\bruch{1}{1+\bruch{sin^2(t)}{cos^2(t)}}* \bruch{1}{cos(t)})^2dt}= \integral{cos^2(t)dt}
[/mm]
Gruß Sax.
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Hey super! Danke für die Hilfe.
[mm] \integral{cos^2(t)} [/mm] ist die vorherige Aufgabe gewesen und lautet
[mm] \bruch{sin t\cdot cos t+t+c}{2} [/mm] für eine Konstante c.
Weil x=tan(t) ist t=arctan(x)
[mm] \Rightarrow \bruch{sin(arctan(x)\cdot cos(arctan(x)+arctan(x)+c}{2}=\bruch{1}{2}(\bruch{x}{\sqrt{x^2+1}}\bruch{1}{\sqrt{x^2+1}}+arctan(x)+c) =\bruch{1}{2}(\bruch{x}{x^2+1}+tan^{-1}(x)+c)
[/mm]
Trotzdem die Frage: Wie komme ich am Anfgang auf x=tan(t)? Der Hinweis war gegeben in der Aufgabe.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:20 So 11.05.2014 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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