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Ich habe noch einmal eine Frage zur Integration durch Substitution. Ich möchte gerne [mm] $\int\dfrac{x}{(1-x^2)^{3/2}}dx$ [/mm] berechnen. (Soweit ich weiß, ist das die zweite Ableitung von [mm] $\arcsin$, [/mm] es sollte also [mm] $\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$ [/mm] herauskommen.) Mit der Substitution [mm] $u=\sqrt{1-x^2}$ [/mm] bin ich nicht weiter gekommen; gibt es eine bessere Möglichkeit?
Vielen Dank und Liebe Grüße,
UniversellesObjekt
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:24 Do 15.01.2015 | | Autor: | fred97 |
Hallo UVO
> Ich habe noch einmal eine Frage zur Integration durch
> Substitution. Ich möchte gerne
> [mm]\int\dfrac{x}{(1-x^2)^{3/2}}dx[/mm] berechnen. (Soweit ich
> weiß, ist das die zweite Ableitung von [mm]\arcsin[/mm], es sollte
> also [mm]\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}[/mm] herauskommen.)
Das ist auch der Fall (bis auf eine additive Konstante).
> Mit der
> Substitution [mm]u=\sqrt{1-x^2}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
bin ich nicht weiter gekommen;
> gibt es eine bessere Möglichkeit?
Diese Subst. ist doch goldrichtig:
Es folgt
\bruch{du}{dx}=\bruch{-x}{\wurzel{1-x^2}}= \bruch{-x}{u},
somit
$xdx=-udu$.
Folglich:
$ \int\dfrac{x}{(1-x^2)^{3/2}}dx =\int\dfrac{-u}{u^3}}du=\int\dfrac{-1}{u^2}}du= \bruch{1}{u}= \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} $
Gruß FRED
>
> Vielen Dank und Liebe Grüße,
> UniversellesObjekt
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Hallo Fred!
Ich danke Dir, ich habe beim Ableiten von $u$ ein $x$ verloren, weil [mm] $(x^2)'=2$ [/mm] war bei mir, und ich habe den Fehler nicht gefunden. Ich hoffe, dass ich solche Fehler noch loswerden kann, oder sie zumindest entdecke.
Liebe Grüße,
UniversellesObjekt
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:16 Do 15.01.2015 | | Autor: | YuSul |
Vielleicht ist es auch einfach die Substitution
[mm] $z=1-x^2$ [/mm] zu benutzen. Die finde ich eigentlich "intuitiver" und auch einfacher damit zu rechnen.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:23 Do 15.01.2015 | | Autor: | fred97 |
> Vielleicht ist es auch einfach die Substitution
>
> [mm]z=1-x^2[/mm] zu benutzen. Die finde ich eigentlich "intuitiver"
> und auch einfacher damit zu rechnen.
Da hast Du recht, damit gehts etwas einfacher.
UVO kam aber mit der Substitution $ [mm] u=\sqrt{1-x^2} [/mm] $ nicht zurecht, daher hab ich ihm (ihr ?) gezeigt, wie man mit dieser Subst. zum Ziel kommt.
FRED
>
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:28 Do 15.01.2015 | | Autor: | YuSul |
Oh, Entschuldigung, da habe ich nicht aufmerksam gelesen, dass diese Substitution bereits probiert wurde.
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Danke, für die Alternative! Ich habe den Weg auch mal gerade nachgerechnet. Bei meiner Substitution musste ich halt die Wurzel Ableiten, hier steht am Ende eine im Integral, vermutlich tut es sich nicht besonders viel.
Liebe Grüße,
UniversellesObjekt
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:30 Do 15.01.2015 | | Autor: | YuSul |
Integriert wird letztendlich [mm] $\int z^{-3/2}\, [/mm] dz$. Das kann man natürlich auch mit einer Wurzel schreiben, aber ansonsten sind es ja lediglich die "bekannten" Gesetze.
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