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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:16 Mo 05.02.2007 | | Autor: | Kristof |
| Aufgabe | Berechnen Sie das Intergral mit der angegebenen Substitution.
a. ) [mm] \integral_{0}^{2}{\bruch{4x}{\wurzel{1+2x^2}} dx} [/mm] ;
g (x) = 1 + [mm] 2x^2
[/mm]
b.) [mm] \integral_{0}^{1}{x^2*e^x^3+1 dx} [/mm] |
Hallo,
Habe mal wieder ein riesen Problem.
Haben heute in Mathe mit Substitution angefangen und ich habe um ehrlich zu sein kein Wort verstanden.
Zuerst mal eine Allgemeine Frage, was ist eine Substitution, bzw. was möchte ich damit erreichen?
Habe es so verstanden, dass bei schweren Ausgangsfunktionen die Substitution helfen kann die Stammfunktion zu finden. Richtig?
Naja,
ich fange erstmal mit Aufgabe a.) an.
Hier muss ich allerdings sagen das ich die nicht konnte. Hatte aber eine Lösung, wobei mir hier auch Fragen aufkommen.
Aber naja.
[mm] \integral_{0}^{2}{\bruch{4x}{\wurzel{1+2x^2}} dx}
[/mm]
Substitution : g (x) = 1 + [mm] 2x^2 [/mm] und f (t) = [mm] \bruch{1}{\wurzel{t}}
[/mm]
Hier kommt schon gleich die 1. Frage.
Wie komme ich bitte auf f (t) = [mm] \bruch{1}{\wurzel{t}}? [/mm]
Gibt es da irgendeinen Weg um das herauszufinden?
Ableitung : g '(x) = 4x
Nun zur Durchführung der Intergration :
[mm] \integral_{0}^{2}{\bruch{4x}{\wurzel{1+2x^2}} dx}
[/mm]
= [mm] \integral_{0}^{2}{\bruch{1}{\wurzel{1+2x^2}} * 4x dx} [/mm]
Bereits hier stellt sich mir die Frage, wozu es nötig ist im Zähler das 4x gegen die 1 zu ersetzen um den Bruch dann mit 4x zu multiplizieren, dass verstehe ich nicht :-(
= [mm] \integral_{0}^{2}{f(g(x)) * g'(x) dx}
[/mm]
Auch hier weiß ich nicht wieso das der Fall ist :-(
= [mm] \integral_{g (0)}^{g(2)}{f(t) dt}
[/mm]
= [mm] \integral_{1}^{9}{\bruch{1}{\wurzel{t}}dt}
[/mm]
Davon nun die Stammfunktion und es in den Grenzen von 1 bis 9 ausrechnene.
= 2 [mm] \wurzel{t} [/mm] ist die Stammfunktion, dieses nun in den Grenzen von 1 bis 9 :
= 4
Nun zur 2. Aufgabe.
Da komme ich nicht wirklich weit :-((
b.)
[mm] \integral_{0}^{1}{x^2*e^x^3+1 dx}
[/mm]
Substitution : g(x) = [mm] x^3+1
[/mm]
g'(x) = [mm] 3x^2
[/mm]
Hier weiß ich gar nicht wie ich weitermachen muss.
Denn mit fehlt ja dieses f (t) =
Wäre lieb wenn ihr mir hier helfen könntet.
Bin voll verzweifelt, muss die Hausaufgaben irgendwie bis morgen fertig bekommen, will es aber auch verstehen *grrrr*
Hoffe ihr könnt das verständlich erklären.
MfG
Kristof
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Hi, Kristof,
> Berechnen Sie das Intergral mit der angegebenen
> Substitution.
> a. ) [mm]\integral_{0}^{2}{\bruch{4x}{\wurzel{1+2x^2}} dx}[/mm] ;
> g (x) = 1 + [mm]2x^2[/mm]
> Zuerst mal eine Allgemeine Frage, was ist eine
> Substitution, bzw. was möchte ich damit erreichen?
>
> Habe es so verstanden, dass bei schweren Ausgangsfunktionen
> die Substitution helfen kann die Stammfunktion zu finden.
> Richtig?
Richtig. Substitution wird verwendet, wenn man dadurch aus einer schwierigen, fast nicht zu integrierenden Funktion eine einfachere "machen" kann.
> [mm]\integral_{0}^{2}{\bruch{4x}{\wurzel{1+2x^2}} dx}[/mm]
>
> Substitution : g (x) = 1 + [mm]2x^2[/mm] und f (t) = [mm]\bruch{1}{\wurzel{t}}[/mm]
Das mag die mathematisch exakte Methode sein; kürzer und übersichtlicher geht's so:
t = 1 + [mm] 2x^{2} [/mm] (***)
t ist also eine Funktion in der Variablen x. Die kann man ableiten, wobei man für die Ableitung nicht t' schreibt, sondern die Leibniz-Schreibweise verwendet. Das hat den Grund, dass man das x bei der Substitution ja sozusagen "ganz entfernen" und durch t ersetzen mus, demnach auch das "dx".
Also: (***) abgeleitet ergibt:
[mm] \bruch{dt}{dx} [/mm] = 4x. | * dx
dt = 4x*dx (****)
(Jetzt siehst Du auch, warum man bei Deiner etwas ausführlicheren Schreibweise das 4x zum dx "zieht": 4x*dx wird als Ganzes durch dt ersetzt.)
Naja und nun brauchst Du in der Wurzel nur (***) verwenden und hinterm
Bruchstrich (****) dt.
Die ursprünglichen Grenzen Deines Intervalls beziehen sich natürlich auch auf die "alte" Variable x:
x=0 und x=2.
Die "neuen" Grenzen beziehen sich auf die neue Variable t und werden daher auch mit Hilfe von (***) ausgerechnet:
t = 1 + [mm] 2*0^{2} [/mm] = 1
t = 1 + [mm] 2*2^{2} [/mm] = 9
Insgesamt also:
[mm] \integral_{0}^{2}{\bruch{4x}{\wurzel{1+2x^2}} dx}
[/mm]
= [mm] \integral_{1}^{9}{\bruch{1}{\wurzel{t}} dt} [/mm] = ...
Ich denke mal, Deine Probleme lassen sich jetzt schon etwas reduzieren?!
mfG!
Zwerglein
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