Integration durch Substitution < Integralrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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Hallo,
ich möchte einige unbestimmte Integrale durch Substitution lösen:
[mm] \integral_{}^{} \cos(4x+3)\, [/mm] dx
dann substituieren: t = 4x+3 dt = 4 dx
weiter: [mm] \integral_{}^{} \cos(4x+3)\, [/mm] dx = [mm] \bruch{1}{4} \integral_{}^{} \cos(t)\, [/mm] dt = [mm] \bruch{1}{4} (\sin(t) [/mm] + C') = [mm] \bruch{1}{4} \sin(t) [/mm] + C
stimmt das mal so???
wenn ja, dann habe ich jedoch Probleme bei folgenden Beispielen:
[mm] \integral_{}^{} \bruch{1}{1 + e^u} [/mm] du (hier muss ich ln x = u substituieren - hat jemand eine Idee wie das geht?)
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Hallo mtu,
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> [mm]\integral_{}^{} \cos(4x+3)\,[/mm] dx
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> dann substituieren: t = 4x+3 dt = 4 dx
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> weiter: [mm]\integral_{}^{} \cos(4x+3)\,[/mm] dx = [mm]\bruch{1}{4} \integral_{}^{} \cos(t)\,[/mm]
> dt = [mm]\bruch{1}{4} (\sin(t)[/mm] + C') = [mm]\bruch{1}{4} \sin(t)[/mm] +
> C
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> stimmt das mal so??? ![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]") nur noch resubstituieren
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> wenn ja, dann habe ich jedoch Probleme bei folgenden
> Beispielen:
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> [mm]\integral_{}^{} \bruch{1}{1 + e^u}[/mm] du (hier muss ich ln x
> = u substituieren - hat jemand eine Idee wie das geht?)
Mit der Substitution [mm] u:=\ln(x) [/mm] ist [mm] \frac{du}{dx}=\frac{1}{x}\Rightarrow du=\frac{dx}{x}
[/mm]
Das mal alles ersetzen:
[mm] \int{\frac{1}{1+e^{u}}du}=\int{\frac{1}{1+x}\frac{dx}{x}}=\int{\frac{1}{x(x+1)}dx}
[/mm]
Hier führt ne Partialbruchzerlegung ans Ziel:
Ansatz: [mm] \frac{1}{x(x+1)}=\frac{A}{x}+\frac{B}{x+1}
[/mm]
A,B bestimmen und das dann im Integral einsetzen und dann ne Stammfkt.
bilden
Rücksubstitution am Ende nicht vergessen 
LG
schachuzipus
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Das aufgeteilt ergibt [mm] \int{\frac{1}{x}dx} [/mm] - [mm] \int{\frac{1}{x+1}dx} [/mm] = [mm] \ln(x) [/mm] - [mm] \ln(x+1) [/mm] + C ... stimmt das mal, bis auf die Rücksubstitution???
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> Das aufgeteilt ergibt [mm]\int{\frac{1}{x}dx}[/mm] -
> [mm]\int{\frac{1}{x+1}dx}[/mm] = [mm]\ln(x)[/mm] - [mm]\ln(x+1)[/mm] + C ... stimmt
> das mal, bis auf die Rücksubstitution???
![[applaus]](/images/smileys/applaus.gif "[applaus]")
Bestens
Gruß
schachuzipus
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Das Ergebnis also:
[mm] \ln(e^u) [/mm] - [mm] \ln(e^u [/mm] +1) + C = u - [mm] \ln(e^u [/mm] +1) + C
oder?
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Hi
> Das Ergebnis also:
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> [mm]\ln(e^u)[/mm] - [mm]\ln(e^u[/mm] +1) + C = u - [mm]\ln(e^u[/mm] +1) + C
>
> oder?
jo, alles richtig
schachuzipus
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