Integration durch Substitution < Integralrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 01:05 Sa 16.06.2007 | | Autor: | Aeryn |
| Aufgabe | Bestimmn sie die folgenden Integrale mittels einer geeigneten Substitution:
a) [mm] \integral x^{2}e^{x^{3}+2} [/mm] dx
b) [mm] \integral \bruch{ln(x+2)}{2x+4} [/mm] dx
c) [mm] \integral \bruch{x^{3}}{(1+x^{2}9^{3}} [/mm] dx
d) [mm] \integral x^{5}\wurzel{4-x^{3}} [/mm] dx |
Um diese Uhrzeit, wäre ja fast guten Morgen angebracht! ;)
Ich sag einfach: Hallo zusammen!
ich hätte a) so berechnet:
[mm] \integral x^{2}e^{x^{3}+2} [/mm] dx
[mm] U=x^{3}+2
[/mm]
[mm] du=3x^{2} [/mm] dx
dx= [mm] \bruch{du}{3x^{2}}
[/mm]
[mm] \integral x^{2}e^{u}*\bruch{du}{3x^{2}} [/mm] = [mm] \bruch{e^{u}}{3} [/mm] + C = [mm] \bruch{e^{x^{3}+2}}{3}+C
[/mm]
bei b) hätte ich folgende Lösung:
[mm] \integral \bruch{ln(x+2)}{2x+4} [/mm] dx
u=ln(x+2)
[mm] du=\bruch{1}{x+2} [/mm] dx
dx=(x+2) du
[mm] \integral \bruch{u}{2(x+2)}*(x+2) [/mm] du = [mm] \bruch{u^{2}}{4} [/mm] + C = [mm] \bruch{(ln(x+2))^{2}}{4} [/mm] + C
Stimmt dies überhaupt????
bei c) und d) bin ich mir nicht sicher!
Lg Aeryn
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 01:24 Sa 16.06.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
Deine Rechnungen sind richtig,
bei d) empfehl ich [mm] u=1+x^2 [/mm] du brauchst dann noch [mm] x^2=u-1
[/mm]
bei e) empfehl ich [mm] 4-x^3=u [/mm] auch hier [mm] x^3=4-u.
[/mm]
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:54 Sa 16.06.2007 | | Autor: | Aeryn |
gut für c) hätt ich nun:
[mm] \integral \bruch{x^{3}}{(1+x^{2})^{3}} [/mm] dx
[mm] u=1+x^{2}
[/mm]
du=2x dx
[mm] dx=\bruch{du}{2x}
[/mm]
[mm] \integral \bruch{x^{3}}{u^{3}}*\bruch{du}{2x} [/mm] =
und für d)
[mm] \integral x^{5}\wurzel{4-x^{3}} [/mm] dx
[mm] u=4-x^{3}
[/mm]
[mm] du=3x^{2} [/mm] dx
[mm] dx=\bruch{du}{3x^{2}}
[/mm]
[mm] \integral x^{5}\wurzel{u} [/mm] * [mm] \bruch{du}{3x^{2}} [/mm] =
Wie gehts weiter? Ich glaub, die Beispiele sind nocht nicht fertig.
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Good morning! ....guck dir den Tipp von Leduart noch mal genauer an, bei c) zum Beispiel kannst das übrigbleibende nach Kürzen [mm] x^2 [/mm] durch u-1 ersetzen und so auf den Integranden 1/2(u^(-1) - u^(-3)) kommen!
Außerdem: wenn du eine Stammfunktion gefunden hast, kannst du ja immer durch Ableiten prüfen, ob sie richtig ist!
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:04 Sa 16.06.2007 | | Autor: | Aeryn |
na gut, dann hab ich:
[mm] x^{2} [/mm] = u-1
[mm] \integral \bruch{x(u-1)}{u^{3}} [/mm] * [mm] \bruch{du}{2x}
[/mm]
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Die verbleibenden x wegkürzen!!!! Dann kommst du auf den Integranden, den ich dir vorher genannt hab!
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:29 Sa 16.06.2007 | | Autor: | Aeryn |
vestehe, du meinst also, dann bleibt nur noch:
[mm] \burch{(u-1)}{u^{3}} [/mm] * [mm] \bruch{dx}{2}
[/mm]
oder anders ausgedrückt:
[mm] (u-1)*u^{-3} [/mm] * [mm] \bruch{dx}{2} [/mm] -> ausgerechnet: [mm] u^{-2} [/mm] - [mm] u^{-3} [/mm] * [mm] \bruch{dx}{2}
[/mm]
und integriert: -1/2 [mm] u^{-1} [/mm] - [mm] u^{-3} [/mm] * [mm] \bruch{dx}{2}
[/mm]
wird [mm] u^{-3} [/mm] nicht auch integriert? ich meine zu [mm] -1/2u^{-2} [/mm] und was mach ich dann mit den [mm] \bruch{dx}{2}?
[/mm]
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Hallo Aeryn,
hmmm...
Da haste aber nen Dreher drin.
Es ist doch [mm] $dx=\frac{du}{2x}$
[/mm]
Also [mm] $\int{\frac{x^3}{(1+x^2)^3}dx}=\int{\frac{(u-1)x}{u^3}\frac{\red{du}}{2x}}=\frac{1}{2}\int{\frac{u-1}{u^3}du}=\frac{1}{2}\int{\left(u^{-2}-u^{-3}\right)du}$
[/mm]
Hier nun beide Summanden integrieren....
Bedenke die Regel dafür: [mm] f(z)=z^n\Rightarrow F(z)=\frac{1}{n+1}z^{n+1} [/mm] für alle [mm] n\ne [/mm] -1
LG
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:24 Sa 16.06.2007 | | Autor: | Aeryn |
Integriert wäre das nun:
[mm] \bruch{1}{2} \integral (u^{-2} [/mm] - [mm] u^{-3}) [/mm] du
[mm] \integral u^{-2} [/mm] du = [mm] -\bruch{1}{u}
[/mm]
[mm] \integral u^{-3} [/mm] du = [mm] -\bruch{1}{2} u^{-2}
[/mm]
= [mm] -\bruch{1}{u} [/mm] + [mm] \bruch{1}{2u}
[/mm]
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Hi,
> Integriert wäre das nun:
>
> [mm]\bruch{1}{2} \integral (u^{-2}[/mm] - [mm]u^{-3})[/mm] du
>
> [mm]\integral u^{-2}[/mm] du = [mm]-\bruch{1}{u}[/mm]
> [mm]\integral u^{-3}[/mm] du = [mm]-\bruch{1}{2} u^{-2}[/mm]
>
> = [mm]-\bruch{1}{u}[/mm] + [mm]\bruch{1}{2u\red{^2}}[/mm]
Jo, das ganze noch [mm] \cdot{}\frac{1}{2} [/mm] und dann resubstituieren
LG
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:37 Sa 16.06.2007 | | Autor: | Aeryn |
Kann es sein, dass als Ergebnis nun das raus kommt?
[mm] -\bruch{1}{1+x^{2}} [/mm] + [mm] \bruch{1}{2(1+x^{2})} [/mm] = [mm] -\bruch{2}{2x^{2}+3}
[/mm]
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Nein,
siehe oben, da muss im zweiten Nenner ein [mm] u^2 [/mm] stehen und das Ganze mal [mm] \frac{1}{2}
[/mm]
Die richtige Stammfunktion ist [mm] -\frac{1}{2u}+\frac{1}{4u^2}=-\frac{1}{2(1+x^2)}+\frac{1}{4(1+x^2)^2}=\frac{-2(1+x^2)+1}{4(1+x^2)^2}
[/mm]
[mm] =-\frac{2x^2+1}{4(1+x^2)^2}
[/mm]
LG
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:59 Sa 16.06.2007 | | Autor: | Aeryn |
stimmt, ja das 1/2 komplett vergessen.
aber ich hätte gesagt:
[mm] =-\frac{2x^2+ 3}{4(1+x^2)^2}
[/mm]
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Nee,
ziehe mal zur Sicherheit das Minuszeichen direkt in den Zähler:
[mm] -\frac{1}{2(1+x^2)}+\frac{1}{4(1+x^2)^2}=\frac{-1}{2(1+x^2)}+\frac{1}{4(1+x^2)^2}=\frac{-1(2(1+x^2)}{4(1+x^2)^2}+\frac{1}{4(1+x^2)^2}=\frac{-2-2x^2+1}{4(1+x^2)^2}=\frac{-2x^2-1}{4(1+x^2)^2}=-\frac{2x^2+1}{4(1+x^2)^2}
[/mm]
LG
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:05 Sa 16.06.2007 | | Autor: | Aeryn |
Ja ok, stimmt.
ich hätt da noch ne frage zu a)
also:
[mm] \integral x^{2}e^{x^{3}+2} [/mm] dx
wie komme ich von
[mm] \integral x^{2}e^{u}*\bruch{du}{3x^{2}} [/mm] = [mm] \bruch{e^{u}}{3} [/mm] + C
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Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Hi,
$\int{x^2e^{u}\frac{du}{3x^2}=\int{e^{u}\frac{du}{3}} \left| x^2$ gekürzt
$=\int{\frac{e^{u}}{3}du}=\frac{1}{3}\int{e^{u}du} \left| $ multiplikative Konstanten kann man vors Integral ziehen
$=\frac{1}{3}e^{u}=\frac{1}{3}e^{x^3+2}\mid$ Rücksubstit.
LG
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:39 Sa 16.06.2007 | | Autor: | Aeryn |
Dankeschön für die Erklärung!!!!
bei aufgabe d) bin ich nun soweit:
[mm] u=4-x^{3}
[/mm]
[mm] du=-3x^{2} [/mm] dx
[mm] dx=\bruch{du}{-3x^{2}}
[/mm]
[mm] x^{3}=4-u
[/mm]
[mm] \integral x^{2}(4-u) \wurzel{u} [/mm] * [mm] \bruch{du}{-3x^{2}} [/mm] =
[mm] -\bruch{1}{3} \integral x^{2}(4-u)\wurzel{u} [/mm] * [mm] \bruch{du}{x^{2}}
[/mm]
[mm] -\bruch{1}{3} \integral (4-u)\wurzel{u} [/mm] du
Wie integriere ich das nun?
Kann ich das einfach so machen?
[mm] (4u-u^{2})\bruch{3}{2}u^{\bruch{3}{2}}
[/mm]
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Hallo nochmal,
> Dankeschön für die Erklärung!!!!
>
> bei aufgabe d) bin ich nun soweit:
>
> [mm]u=4-x^{3}[/mm]
>
> [mm]du=-3x^{2}[/mm] dx
>
> [mm]dx=\bruch{du}{-3x^{2}}[/mm]
>
> [mm]x^{3}=4-u[/mm]
>
> [mm]\integral x^{2}(4-u) \wurzel{u}[/mm] * [mm]\bruch{du}{-3x^{2}}[/mm] =
> [mm]-\bruch{1}{3} \integral x^{2}(4-u)\wurzel{u}[/mm] *
> [mm]\bruch{du}{x^{2}}[/mm]
> [mm]-\bruch{1}{3} \integral (4-u)\wurzel{u}[/mm] du ![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]")
Bis hierhin ist alles top!!
>
> Wie integriere ich das nun?
> Kann ich das einfach so machen?
>
> [mm](4u-u^{2})\bruch{3}{2}u^{\bruch{3}{2}}[/mm] ![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
Das geht so nicht, multipliziere zunächst mal aus:
[mm] -\frac{1}{3}\int{(4-u)u^{\frac{1}{2}}du}=-\frac{1}{3}\int{\left(4u^{\frac{1}{2}}-u^{\frac{3}{2}}\right)du}=-\frac{4}{3}\int{u^{\frac{1}{2}}du}+\frac{1}{3}\int{u^{\frac{3}{2}}du}
[/mm]
Und das wieder mit der Potenzregel, die irgendwo in einem der oberen posts steht, integrieren
LG
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:17 Sa 16.06.2007 | | Autor: | Aeryn |
ah, ok.
somit hab ich dann:
[mm] -\bruch{8}{9}(4-x^{3})^{1,5} [/mm] + [mm] \bruch{2}{15}(4-x^{3})^{2,5}
[/mm]
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Hallo,
> ah, ok.
>
> somit hab ich dann:
>
> [mm]-\bruch{8}{9}(4-x^{3})^{1,5}[/mm] + [mm]\bruch{2}{15}(4-x^{3})^{2,5}[/mm] ![[applaus]](/images/smileys/applaus.gif "[applaus]")
Alles ok !!
LG
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:24 Sa 16.06.2007 | | Autor: | Aeryn |
Danke für den applaus.
jetzt hätt ich noch ne blöde frage:
wie rechne ich das aus? bzw. vereinfache es?
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Hallo,
wenn du Grenzen hast, kannst du die hier einfach einsetzen, wenn du unbedingt willst, kannst du noch etwas umformen:
Klammere [mm] \frac{2}{3}(4-x^3)^{\frac{3}{2}} [/mm] aus:
[mm] -\frac{8}{9}(4-x^3)^{\frac{3}{2}}+\frac{2}{15}(4-x^3)^{\frac{5}{2}}=\frac{2}{3}(4-x^3)^{\frac{3}{2}}\cdot{}\left(\frac{1}{5}(4-x^3)-\frac{4}{3}\right)
[/mm]
Das kannste wieder als Wurzeausdruck schreiben:
[mm] =\frac{2}{3}\sqrt{(4-x^3)^3}\cdot{}\left(\frac{1}{5}(4-x^3)-\frac{4}{3}\right)
[/mm]
LG
schachuzipus
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