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| Aufgabe | Berechnen Sie das Integral mit einer geeigneten Substitution.
[mm] \integral_{4}^{6}{\bruch{2x-1}{x^{2}-6x+9}dx} [/mm] |
Hallo Community,
ich habe abermals eine Frage zur Integration durch Substitution.
Meine Lösungsansätze bisher:
[mm] \integral_{4}^{6}{\bruch{2x-1}{x^{2}-6x+9}dx}
[/mm]
z(X) = [mm] x^{2}-6x+9
[/mm]
z'(X) = 2x-6
[mm] \bruch{dz}{dx} [/mm] = 2x-6
dx = [mm] \bruch{1}{2x-6}dz
[/mm]
= [mm] \integral_{z(4)}^{z(6)}{\bruch{2x-1}{z}*\bruch{1}{2x-6}dz}
[/mm]
Und hier komme ich nicht weiter. Dann habe ich es mit einer anderen Substitution versucht:
[mm] \integral_{4}^{6}{\bruch{2x-1}{x^{2}-6x+9}dx}
[/mm]
z(X) = [mm] x^{2}-x+9
[/mm]
z'(X) = 2x-1
[mm] \bruch{dz}{dx} [/mm] = 2x-1
dx = [mm] \bruch{1}{2x-1}dz
[/mm]
= [mm] \integral_{z(4)}^{z(6)}{\bruch{2x-1}{z-5x}*\bruch{1}{2x-1}dz}
[/mm]
= [mm] \integral_{z(4)}^{z(6)}{\bruch{1}{z-5x}dz}
[/mm]
Und hier komme ich abermals nicht weiter.
Sieht irgendjemand eine gute Substitution? Bin für jede Hilfe dankbar!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo object-oriented!
Zerlege den Bruch wie folgt und betrachte beide Brüche separat:
[mm] $$\bruch{2x-1}{x^2-6x+9} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{2x-6+5}{x^2-6x+9} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{2x-6}{x^2-6x+9}+\bruch{5}{x^2-6x+9} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{2x-6}{x^2-6x+9}+\bruch{5}{(x-3)^2}$$
[/mm]
Gruß vom
Roadrunner
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Vielen Dank! Damit sollte ich zu einem Ergebnis kommen. :)
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Ich habe einen noch einfacheren Weg gefunden:
[mm] \integral_{4}^{6}{\bruch{2x-1}{x^{2}-6x+9}dx}=\integral_{4}^{6}{\bruch{2x-1}{(x-3)^{2}}dx}=\integral_{t(4)}^{t(6)}{\bruch{2x+5}{t^{2}}dt}=\integral_{t(4)}^{t(6)}{\bruch{2}{t}+\bruch{5}{t^{2}}dt}
[/mm]
t(x) = x-3
t'(x) = 1
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