Integration durch Substitution < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Berechnen Sie das Integral (Substitution)
e) F(x) = [mm] \integral_{}^{}{\bruch{2}{cos^{2}(2x+4)} dx}
[/mm]
|
Ich habe versucht das ganze zu lösen:
F(x) = [mm] \integral_{}^{}{\bruch{2}{cos^{2}(2x+4)} dx}
[/mm]
1. Substitution: z = 2x+4 [mm] \bruch{dz}{dx} [/mm] = 2 [mm] \Rightarrow [/mm] dx = [mm] \bruch{dz}{2}
[/mm]
F(x) = [mm] \integral_{}^{}{\bruch{2}{cos^{2}(z)} \bruch{dz}{2}} [/mm]
F(x) = [mm] \integral_{}^{}{\bruch{dz}{cos^{2}(z)} } [/mm]
2. Substitution: u = tan [mm] \bruch{z}{2}
[/mm]
du = [mm] \bruch{2du}{1 + u^{2}} [/mm] aus der Formelsammlung!!
F(x) = [mm] \integral_{}^{}{\bruch{1}{(\bruch{1-u^{2}}{1+u^{2}})^{2}} \bruch{2du}{1 + u^{2}}} [/mm]
F(x) = 2 [mm] \integral_{}^{}{\bruch{1+u^{2}}{(1-u^{2})^{2}}du}
[/mm]
Und jetzt komme ich nicht weiter...kann ich das hier irgendwie vereinfachen, oder ist mein Weg einfach schon völlig falsch. Unser Prof meine das dieser Weg mit dieser speziellen Substitution der Trigonometrischen Funktionen immer geht.
Vielen Dank für die Hilfe
|
|
| |
|
Hallo angreifer!
Der 1. Schritt ist okay. Beim zweiten würde ich substituieren:
$$u \ := \ [mm] \tan(z)$$
[/mm]
Bedenke, dass gilt:
[mm] $$\bruch{d}{dx}\tan(x) [/mm] \ = \ [mm] \bruch{1}{\cos^2(x)}$$
[/mm]
Gruß vom
Roadrunner
|
|
|
| |
|
sorry, ich verstehe das leider nicht. habe gelernt, dass bei den trigonometrischen funktionen immer tan (x/2) substituieren muss...und das dann dx = [mm] \bruch{2du}{1 + u^{2}} [/mm] ist.
Mache ich gerade einen Denkfehler???
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:24 Di 15.12.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
Wenn schon die Ableitung einer bekannten fkt (hier tan der integrand ist sollte man nicht mehr substituieren.Nochmal der Hinweis: [mm] (tan(x))'=1/cos^2(x)
[/mm]
Gruss leduart
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:28 Di 15.12.2009 | | Autor: | fred97 |
> sorry, ich verstehe das leider nicht. habe gelernt, dass
> bei den trigonometrischen funktionen immer tan (x/2)
> substituieren muss...und das dann dx = [mm]\bruch{2du}{1 + u^{2}}[/mm]
> ist.
>
> Mache ich gerade einen Denkfehler???
Ja, Du mußt nicht tan (x/2) substituieren, Du kannst.
Wenn Du eine Stammfunktion von $sin(x)$ suchst, substituierst Du dann auch tan(x/2) ? Wohl kaum.
Wenns einfacher geht, so kannst Du auch einen anderen Weg einschlagen
FRED
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:46 Di 15.12.2009 | | Autor: | angreifer |
Danke...jetzt wo ich nen wenig zeit hatte nachzudenken, erscheint es mir auch als logisch.
Das Ergebnis ist dann also am Schluss:
F(x) = tan(2x +4) + c
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:51 Di 15.12.2009 | | Autor: | fred97 |
> Danke...jetzt wo ich nen wenig zeit hatte nachzudenken,
> erscheint es mir auch als logisch.
>
> Das Ergebnis ist dann also am Schluss:
>
> F(x) = tan(2x +4) + c
Richtig
FRED
|
|
|
|
