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| Aufgabe | Bestimmen Sie eine Stammfunktion und das Integral!!
[mm] \integral_{1}^{3}{\bruch{10}{(3x+1)^2} dx} [/mm] |
[mm] \integral_{1}^{3}{\bruch{10}{(3x+1)^2} dx}
[/mm]
Also wie gehe ich jetzt an diese Aufgabe ran?
Ich muss das ja irgendwie substituieren.
g(x) = 3x + 1 f(z) = [mm] \bruch{10}{z^3}
[/mm]
Wenn das richtig wäre, müsste ich ja die neeun Grenzen berechnen und die Integration durchführen, oder? Aber stimmt dies soweit?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:26 Do 28.10.2010 | | Autor: | Pappus |
Guten Tag!
> Bestimmen Sie eine Stammfunktion und das Integral!!
>
> [mm]\integral_{1}^{3}{\bruch{10}{(3x+1)^2} dx}[/mm]
>
> [mm]\integral_{1}^{3}{\bruch{10}{(3x+1)^2} dx}[/mm]
>
> Also wie gehe ich jetzt an diese Aufgabe ran?
>
> Ich muss das ja irgendwie substituieren. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> g(x) = 3x + 1 f(z) = [mm]\bruch{10}{z^3}[/mm]
>
> Wenn das richtig wäre, müsste ich ja die neeun Grenzen
> berechnen und die Integration durchführen, oder? Aber
> stimmt dies soweit?
Leider nicht!
1. Wieso [mm] $z^3$ [/mm] ?
2. Wenn $g(x)=3x+1$ dann ist [mm] $\bruch{dg}{dx} [/mm] = 3$
3. Daher:
[mm] $\int\left(\dfrac{10}{(3x+1)^2}\right)dx [/mm] = [mm] \int\left(\bruch{10}3 \cdot \bruch{3}{(3x+1)^2}\right) [/mm] dx$
4. Jetzt substituieren, Integrationsvariable umbenennen, Grenzen berechnen - und los!
Salve
Pappus
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hmm also mein Intervall heißt ja
[mm] \integral_{1}^{3}{\bruch{10}{(3x+1)^2}dx} [/mm] und wenn ich eine Stammfunktion davon bilden muss, muss ich ja erst integrieren.
Also als Substitution wählt man denn ja 3x+1
aber was hat das mit [mm] \bruch{dg}{dx} [/mm] zu tun? wie muss man das machen, kann das mal wer kleinschrittig erklären? oO danke
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> hmm also mein Intervall ![[haee]](/images/smileys/haee.gif "[haee]") heißt ja
du meinst wohl Integral
> [mm]\integral_{1}^{3}{\bruch{10}{(3x+1)^2}dx}[/mm] und wenn ich eine
> Stammfunktion davon bilden muss, muss ich ja erst
> integrieren.
"Stammfunktion bestimmen" ist eigentlich identisch zu
"den Funktionsterm integrieren"
> Also als Substitution wählt man denn ja 3x+1
Setzen wir also z.B. $\ u:=\ [mm] 3\,x+1$
[/mm]
Für das Integral mit der neuen Variablen $u$ muss man nun
auch das Differential ersetzen. Im neuen Integral soll $du$
stehen.
Zu diesem Zweck leitet man die Substitutionsgleichung ab
und verwendet dazu praktischerweise die Leibnizsche
Schreibweise:
$\ u'(x)\ =\ [mm] \frac{du}{dx}\ [/mm] =\ 3$
Aus dieser Gleichung kann man ablesen, dass $\ dx\ =\ [mm] \frac{1}{3}\,du$
[/mm]
Aus dem Integral wird nun neu:
[mm] $\integral_{x=1}^{x=3}{\bruch{10}{u^2}*\frac{1}{3}\ du}$
[/mm]
Nun nimmt man am besten die Zahlenfaktoren heraus, und
man sollte nun auch die Integrationsgrenzen noch umrechnen,
d.h. die früheren x-Werte, die da noch stehen, durch die ihnen
gemäß der Substitutionsgleichung entsprechenden u-Werte
ersetzen:
[mm] $\bruch{.....}{.....}*\integral_{u=.....}^{u=.....}{\bruch{1}{u^2}\ du}$
[/mm]
LG Al-Chw.
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