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| Aufgabe | | [mm] \int_{}^{} \bruch{x}{x^2-4x+5} \, [/mm] dx |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt
Hallo,
ich suche die Lösung durch Substitution, hatte den Zähler durch quadratische Ergänzung umgeformt:
[mm]\int_{}^{} \bruch{x}{(x-2)^2+1} \, dx [/mm]
und dann substituiert mit z= x-2. Durch die Ableitung ergab sich dz = dx.Danach sah das Ganze so aus:
[mm]\int_{}^{} \bruch{x}{z^2+1} \, dz[/mm]
durch Integration kam dann bei mir [mm]arctan (x-2)*x+C raus.[/mm]
Der erste Schritt der Musterlösung lautet allerdings:
[mm] \int_{}^{} \bruch{x}{x^2-4x+5} \, dx = \int_{}^{} \bruch{\bruch{1}{2}* (2x-4)+2}{x^2-4x+5} \, dx [/mm]
Ich versteh diesen Schritt leider überhaupt nicht. Mir ist zwar klar, dass die (2x-4) die Ableitung vom Nenner ist, aber ich hab keine Ahnung wie die in den Zähler kommt und was es mit dem 1/2 und dem +2 auf sich hat.
Danke schonmal, Andreas
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:59 So 09.12.2012 | | Autor: | abakus |
> [mm]\int_{}^{} \bruch{x}{x^2-4x+5} \,[/mm] dx
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt
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> Hallo,
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> ich suche die Lösung durch Substitution, hatte den Zähler
> durch quadratische Ergänzung umgeformt:
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> [mm]\int_{}^{} \bruch{x}{(x-2)^2+1} \, dx[/mm]
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> und dann substituiert mit z= x-2. Durch die Ableitung ergab
> sich dz = dx.Danach sah das Ganze so aus:
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> [mm]\int_{}^{} \bruch{x}{z^2+1} \, dz[/mm]
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> durch Integration kam dann bei mir [mm]arctan (x-2)*x+C raus.[/mm]
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> Der erste Schritt der Musterlösung lautet allerdings:
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> [mm]\int_{}^{} \bruch{x}{x^2-4x+5} \, dx = \int_{}^{} \bruch{\bruch{1}{2}* (2x-4)+2}{x^2-4x+5} \, dx[/mm]
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> Ich versteh diesen Schritt leider überhaupt nicht. Mir ist
> zwar klar, dass die (2x-4) die Ableitung vom Nenner ist,
> aber ich hab keine Ahnung wie die in den Zähler kommt und
> was es mit dem 1/2 und dem +2 auf sich hat.
>
> Danke schonmal, Andreas
Hallo,
drehe die Geschichte mal um.
Wir WOLLEN, dass im Zähler die Ableitung des Nenners steht (dann ist die Stammfunktion einfach zu finden).
Also BRAUCHEN wir im Zähler den Term 2x-4. Haben wir leider nicht, wir haben nur x. Der Term x-2 würde uns auch schon helfen, der unterscheidet sich von unserem gewünschten Zähler nur durch den konstanten Faktor 2.
Mit dem kleinen Kunstgriff, x als x-2+2 zu schreiben, hätten wir immerhin schon die gewünschte -2.
Nun schreiben wir den vorderen Teil als 0,5*(2x-4), dann ist die Klammer tatsächlich die Ableitung des Nenners.
Somit haben wir [mm]\bruch{x}{x^2-4x+5} =\bruch{0,5(2x-4)+2}{x^2-4x+5}=0,5*\bruch{2x-4}{x^2-4x+5}+\bruch{2}{x^2-4x+5}[/mm], wobei der erste Bruch sofort integriert werden kann.
Gruß Abakus
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Super, danke für die schnelle Hilfe :)
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 20:33 So 09.12.2012 | | Autor: | Helbig |
Hallo Andreas-von-der-Vogelweide,
> [mm]\int_{}^{} \bruch{x}{x^2-4x+5} \,[/mm] dx
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt
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> Hallo,
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> ich suche die Lösung durch Substitution, hatte den Zähler
> durch quadratische Ergänzung umgeformt:
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> [mm]\int_{}^{} \bruch{x}{(x-2)^2+1} \, dx[/mm]
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> und dann substituiert mit z= x-2. Durch die Ableitung ergab
> sich dz = dx.Danach sah das Ganze so aus:
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> [mm]\int_{}^{} \bruch{x}{z^2+1} \, dz[/mm]
Hier mußt Du noch $x$ durch $z+2$ ersetzen. In dem Integranden soll die ersetzte Variable $x$ nicht mehr auftauchen.
Damit erhältst Du
[mm] $\int \frac [/mm] {z+2} [mm] {z^2+1} [/mm] dz$, was Du sicher leicht lösen kannst. Wenn nicht, melde Dich nochmal.
In der Musterlösung wird im nächsten Schritt wahrscheinlich auch quadratisch ergänzt. Du hast es nur vorgezogen. Und das scheint mir eleganter.
Gruß,
Wolfgang
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> durch Integration kam dann bei mir [mm]arctan (x-2)*x+C raus.[/mm]
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> Der erste Schritt der Musterlösung lautet allerdings:
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> [mm]\int_{}^{} \bruch{x}{x^2-4x+5} \, dx = \int_{}^{} \bruch{\bruch{1}{2}* (2x-4)+2}{x^2-4x+5} \, dx[/mm]
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> Ich versteh diesen Schritt leider überhaupt nicht. Mir ist
> zwar klar, dass die (2x-4) die Ableitung vom Nenner ist,
> aber ich hab keine Ahnung wie die in den Zähler kommt und
> was es mit dem 1/2 und dem +2 auf sich hat.
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> Danke schonmal, Andreas
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