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Forum "Integration" - Integration, e^(-x^2/2)
Integration, e^(-x^2/2) < Integration < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Integration, e^(-x^2/2): Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:53 Do 08.01.2015
Autor: YuSul

Aufgabe
Zeigen Sie, dass

[mm] $1-\Phi(t)\sim \frac{1}{t\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{t^2}{2}}$ [/mm]

Mit [mm] $\sim$ [/mm] ist folgende Relation gemeint https://matheraum.de/read?t=1045684

Hallo,

ich möchte diese Aufgabe lösen. Zeigen soll ich also

[mm] $\lim_{t\to\infty} \frac{1-\Phi(t)}{\frac{1}{t\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{t^2}{2}}}=1$ [/mm]

Dabei ist [mm] $\Phi(t)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^t e^{-x^2/2}\, [/mm] dx$

Bekanntermaßen gilt [mm] $1-\Phi(t)=\Phi(-t)$. [/mm] Das [mm] $\frac{1}{\sqrt{2\pi}}$ [/mm] kürzt sich weg.

Zeigen muss ich also "nur noch":

[mm] $\lim_{t\to\infty}\frac{\int_{-\infty}^{-t}e^{-x^2/2}\,dx}{\frac{1}{t}e^{\frac{t^2}{2}}}$ [/mm]

Wir haben den Hinweis bekommen, dass wir eine "geschickte" partielle Integration anwenden sollen.
Mein erster Gedanke war es mit Polarkoordinaten zu machen. Denn dieses Integral sollte ja keine geschlossene Form haben, also in der Form gar nicht partiell integrierbar sein.

Mit Polarkoordinaten kam ich aber nicht weiter.
Kann mir jemand einen Tipp zum Hinweis geben?

Wie ist das mit der partiellen Integration gemeint?

        
Bezug
Integration, e^(-x^2/2): Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:23 Do 08.01.2015
Autor: leduart

Hallo
1.das Integral lässt sich auf keine Weise  mit bekannten Funktionen lösen
2. die partielle Integration ist wohl 1=u' ;   [mm] e^{-x^2/2}=v [/mm]
bekannt sollte sein
[mm] \integral_{-\infty}^{\infty}{exp(-x^2/2)dx}=\wurzel{2*\pi} [/mm]
Gruß leduart

Bezug
                
Bezug
Integration, e^(-x^2/2): Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:36 Do 08.01.2015
Autor: YuSul

Ja, dies ist bekannt. Mit dieser partiellen Integration hatte ich es versucht, aber bisher ohne den bekannten "Integralwert" auszunutzen.
Auch jetzt sehe ich nicht wie ich das tun kann.

[mm] $\int e^{-x^2/2}\, dx=xe^{-x^2/2}+\int x^2e^{-x^2/2}\, [/mm] dx$

Wie mich nun der bekannte Integralwert weiterbringt, dass sehe ich leider nicht...

Bezug
                        
Bezug
Integration, e^(-x^2/2): Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:33 Do 08.01.2015
Autor: leduart

Hallo
Grenzen einsetzen und durch den Nenner teilen
Gruss leduart

Bezug
                                
Bezug
Integration, e^(-x^2/2): Frage (überfällig)
Status: (Frage) überfällig Status 
Datum: 23:02 Do 08.01.2015
Autor: YuSul

Wenn ich die Grenzen einsetze, dann erhalte ich

[mm] $\sqrt{2\pi}=xe^{-x^2/2}+\int_{-\infty}^{\infty}x^2e^{-x^2/2}\, [/mm] dx$

Welchen Nenner meinst du?

Bezug
                                        
Bezug
Integration, e^(-x^2/2): Fälligkeit abgelaufen
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 23:20 Sa 10.01.2015
Autor: matux

$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
Bezug
        
Bezug
Integration, e^(-x^2/2): Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 23:21 Do 08.01.2015
Autor: DieAcht

Hallo YuSul!


Äquivalent wollen wir zeigen, dass gilt:

       [mm] \left(\int_{\IR}e^{-t^2/2}dt\right)^2=2\pi. [/mm]

Schreibe dazu das Quadrat der Integrale als ein zweidimensionales
Integral über

      [mm] x=(x_1,x_2)\in\IR^2 [/mm]

und gehe über zu Polarkoordinanten.

(Beachte: [mm] x_1^2+x_2^2=\|x\|_2^2.) [/mm]


Edit: Anscheinend habe ich mich vertan, sorry.


Gruß
DieAcht

Bezug
                
Bezug
Integration, e^(-x^2/2): Frage (überfällig)
Status: (Frage) überfällig Status 
Datum: 23:44 Do 08.01.2015
Autor: YuSul

Ich will ja nur zeigen, dass der Grenzwert des Quotienten später 1 ist. Kann ich das Integral nicht vielleich durch etwas nach oben abschätzen?

Bezug
                        
Bezug
Integration, e^(-x^2/2): Fälligkeit abgelaufen
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 00:20 So 11.01.2015
Autor: matux

$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
Bezug
        
Bezug
Integration, e^(-x^2/2): Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 00:54 Fr 09.01.2015
Autor: andyv

Hallo,

versuche es mit der partiellen Integration [mm] $\int_{-\infty}^{-t} \exp(-x^2/2) dx=\exp(-t^2/2)/t-\int_{-\infty}^{-t} \exp(-x^2/2)/x^2 [/mm] dx$.

Zu zeigen bleibt, dass der Beitrag vom zweiten Summanden für $t [mm] \to \infty$ [/mm] verschwindet. Hierfür bemerke, dass [mm] $\exp(-x^2/2)\le \exp(-t^2/2)$ [/mm] für $x [mm] \le [/mm] -t<0$ gilt.

Liebe Grüße

Bezug
                
Bezug
Integration, e^(-x^2/2): Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 01:17 Fr 09.01.2015
Autor: YuSul

Könnte ich auch begründen, dass dies Null sein muss, weil der Integrand beschränkt ist und die Intervalllänge gegen Null geht?

Bezug
                        
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Integration, e^(-x^2/2): Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 08:22 Fr 09.01.2015
Autor: andyv

Der Integrand geht ganz sicher gegen 0, das ist aber nicht was du zeige willst: du musst das schließlich noch mit [mm] $texp(-t^2/2)$ [/mm] multiplizieren und dann den Grenzwert berechnen.

Liebe Grüße

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Bezug
Integration, e^(-x^2/2): Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 03:43 Fr 09.01.2015
Autor: YuSul

Mit was für einen partiellen Integration bekommst du eigentlich hier das 1/t bzw. [mm] 1/x^2? [/mm]

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Integration, e^(-x^2/2): Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 08:20 Fr 09.01.2015
Autor: andyv

$v'=x [mm] exp(-x^2/2)$ [/mm] und $u=1/x$.

Liebe Grüße

Bezug
                                
Bezug
Integration, e^(-x^2/2): Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 18:39 Fr 09.01.2015
Autor: YuSul

Das ist in der Tat sehr geschickt. :)

Vielen Dank.

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