Integration einer LN- Funktion < Integralrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:11 Mi 31.01.2007 | | Autor: | Maggons |
| Aufgabe | Gegeben ist die Funktion f(x)=x*(2- ln(x))
e) Wie lautet die Gleichung der Tangente an den Graphen von f in dessen Nullstelle?
f) Bestimmen sie die Stammfunktion von f. |
Huhu also ich habe Probleme bei diesen 2 Teilaufgaben;
bei e) wäre es ja nur einsetzen, jedoch bekomme ich eine Tangente raus, die nicht durch den gewünschten Punkt verläuft, wenn ich einsetze :/
Also ich habe
f(x)=x * (2- ln(x))
f'(x)= 1 - ln(x)
und setze dies ja nun in die allgemeine Tangentenformel ein, die da lautet
f'(xb) * (x * xb) + f(xb), xb als Punkt, durch/ an welchen/ m die Tangente verlaufen soll.
Die Nullstelle lautet nach meinen Rechnungen [mm] e^{2}.
[/mm]
in f'(x) eingesetzt ergibt sich ja dann
1-2
für (x*xb) bekommt man [mm] x*e^{2} [/mm] und der letzte Teilterm wird Null, weil ja die x- Koordinate eines Nullpunktes verwendet wird.
Daher erhalte ich letztendlich die Gleichung
t(x)= 1 - 2 * [mm] e^{2} [/mm] * x
Das kommt nur leider total nicht hin mit der Nullstelle [mm] e^{2}; [/mm] weiß jemand, wo mein Fehler liegt? :(
Dann zur f)
Ich habe bereits ein paar Ansätze von Produktintegration ausprobiert, weil ich denke, dass man Produktintegration anwenden muss, komme jedoch leider auch auf kein gescheites Ergebnis.
[mm] \integral{x * ( 2 - ln(x)) dx}
[/mm]
Wenn ich ja nun zunächst die Klammer auflöse, weiß ich nicht wie ich mit 2 einzelnen Produkten umgehen muss. 2*x wäre ja einfach zu integrieren und x * ln(x) auch; nur weiß ich nicht, wie sich das - auswirkt und ob ich überhaupt die Produktintegration anwenden muss. :(
Ich hoffe auf Tipps jeglicher Art
Mit freundlichen Grüßen
Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt.
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Hallo Maggons!
Die allgemeine Tangentenformel in [mm] $x_b$ [/mm] lautet: $t(x) \ = \ [mm] f'(x_b)*\left(x \ \red{-} \ x_b\right)+f(x_b)$
[/mm]
Gruß vom
Roadrunner
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Hallo Maggons!
Wenn Du die Klammer aumsultiplzierst, erhältst Du ja: [mm] $2x-x*\ln(x)$ [/mm] .
Dies darfst Du nun (gemäß  Summenregel) einzeln integrieren.
Die Produktintegration (oder genauer: partielle Integration) musst Du aber nur beim 2. Term [mm] $x*\ln(x)$ [/mm] anwenden. Der 1. Teil $2*x_$ lässt sich ganz "normal" mit der Potenzregel integrieren.
Gruß vom
Roadrunner
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:57 Mi 31.01.2007 | | Autor: | Maggons |
Erstmal vielen Dank;
habe mich da bei der Formel dumm verschaut und habe die nicht noch einmal nachgeschaut....
Dann kommt als Gleichung für die Tangente
t(x) = -x + e² raus, und das stimmt auch zeichnerisch genau überein, vielen Dank zunächst dafür :)
OK nun habe ich noch ein Problem bei der f), weil ich nicht das gleiche Ergebnis rausbekomme wie mein Taschenrechner :(
Hier mein Rechenweg:
[mm] \integral{2*x-x*ln(x) dx}
[/mm]
das sollte man dann ja zunächst umstellen können nach der Summenregel zu:
x² - [mm] \integral{x*ln(x) dx}, [/mm] nun würde ich ja die Produktintegration anwenden.
x² - [mm] \bruch{1}{2} [/mm] * x² * ln(x) - [mm] \integral{\bruch{1}{2} * x² * \bruch{1}{x} dx}
[/mm]
Dann würde ich es auflösen zu
x² - [mm] \bruch{1}{2} [/mm] * x² * ln(x) - [mm] \bruch{1}{4} [/mm] * x²
, gekürzt dann letztendlich
[mm] \bruch{3}{4}*x^{2}-\bruch{1}{2}*x^{2}*ln(x)
[/mm]
Mein Taschenrechner sagt mir jedoch:
[mm] \bruch{-x^{2}*(2*ln(x)-5)}{4}
[/mm]
Also vielen Dank zunächst an Roadrunner, nur leider hab ich halt noch das Problem des falschen Ergebnisses :( Könnte nochmal jemand einen Tip geben, wo der Fehler liegt?
MfG
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:05 Mi 31.01.2007 | | Autor: | riwe |
ich wpürde vermuten, du hast das MINUS vor dem 2. summanden vergessen
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:10 Mi 31.01.2007 | | Autor: | Maggons |
wo müsste da denn noch ein minus hin ... ?
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Hallo Maggons!
Du musst bei 2. Term, dem Du mit der partiellen Integration zu Leibe rückst, Klammern setzen. Denn durch das Minuszeichen davor drehen sich nachher die Vorzeichen in der Klammer:
[mm] $\integral{2x-x*\ln(x) \ dx} [/mm] \ = \ [mm] \integral{2x \ dx}-\integral{x*\ln(x) \ dx} [/mm] \ = \ [mm] x^2-\red{\left[}\bruch{1}{2}x^2*\ln(x)-\integral{\bruch{1}{2}x^2*\bruch{1}{x} \ dx}\red{\right]} [/mm] \ = \ [mm] x^2-\bruch{1}{2}x^2*\ln(x) [/mm] \ [mm] \red{+} [/mm] \ [mm] \bruch{1}{2}*\integral{x \ dx} [/mm] \ = \ ...$
Gruß vom
Roadrunner
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(Korrektur) richtig (detailiert geprüft)  | | Datum: | 19:51 Mi 31.01.2007 | | Autor: | Maggons |
Wunderbar, nun habe ich das richtige Ergebnis :)
Nochmals vielen Dank Roadrunner, schönen Abend wünsch ich noch :)
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