Integration gebr.rat. Funktion < Integralrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | [mm] \integral_{a}^{b} {(8x^3+1)/(2x^3+^2x) dx} [/mm] |
Hallo zusammen,
Habe ein großes Problem mit dieser Aufgabe bzw. mit dem Integrieren von gebrochen rationalen Funktionen im allgemeinen. Ich konnte einfach keine allgemeingültigen Regeln zum Bilden der Stammfunktion finden (wie z.B. zum Integrieren von ganzrationalen Funktionen, womit eigentlich keine Probleme habe) und da ich mir die Inhalte im Selbststudium erarbeiten muss, habe ich auch leider niemanden, den ich fragen kann.
Für Hilfe wäre ich daher sehr dankbar.
Viele Grüße Titanwurz
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:04 Mo 23.01.2006 | | Autor: | Yuma |
Hallo Titanwurz,
eine allgemeine Regel zur Integration gebrochen-rationaler Funktionen gibt es leider nicht! In diesem Fall ist Polynomdivision das Mittel der Wahl. Hilft Dir das weiter? Ansonsten bitte nochmal nachfragen!
MFG,
Yuma
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Polynomdivision ist auf jeden Fall schon mal ein
Ansatz. Könntest Du mir vielleicht noch erklären
wie ich genau vorgehen muss (wie Polynomdivision
geht weiß ich)
Einstweilen auf jeden Fall schon mal vielen Dank
Viele Grüße Titanwurz
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:01 Mo 23.01.2006 | | Autor: | Yuma |
Hallo Titanwurz,
wenn du die Polynomdivision durchführst, erhältst du ja folgendes:
[mm]\bruch{8x^{3}+1}{2x^{3}+x^{2}}=4-\bruch{2}{x}+\bruch{1}{x^{2}}[/mm]
Dies zu integrieren ist nicht so schwer, denn du kannst jeden Summanden einzeln integrieren. Dazu noch zwei Tipps:
[mm]\integral {\bruch{1}{x}dx}=\ln{ |x |}[/mm] und [mm]\bruch{1}{x^{2}}=x^{-2}[/mm]
d.h. zu letzterem kannst du die Stammfunktion nach der Formel
[mm]\integral {x^{n}dx} = \bruch{x^{n+1}}{n+1}}[/mm]
bilden.
Also, wie lautet die Stammfunktion von [mm]\bruch{8x^{3}+1}{2x^{3}+x^{2}}[/mm]?
MFG,
Yuma
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:15 Mo 23.01.2006 | | Autor: | Yuma |
Hallo Loddar, was ist daran falsch???
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:18 Mo 23.01.2006 | | Autor: | Loddar |
Hallo Yuma!
> Hallo Loddar, was ist daran falsch???
Das Ergebnis Deiner  Polynomdivision (siehe auch meine Antwort unten).
Mach doch mal die Probe und setze diese drei Brüche wieder zusammen.
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:22 Mo 23.01.2006 | | Autor: | Yuma |
Die Polynomdivision ist meiner Ansicht nach korrekt! Wo siehst du einen Fehler?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:27 Mo 23.01.2006 | | Autor: | Loddar |
Hallo Yuma!
Hast Du denn mal die Probe gemacht und Deine drei Einzelbrüche des vermeintlichen Ergebnisses wieder zusammengefasst?
[mm] $4-\bruch{2}{x}+\bruch{1}{x^2} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{4x^2}{x^2}-\bruch{2x}{x^2}+\bruch{1}{x^2} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{4x^2-2x+1}{x^2}$
[/mm]
Und das ist ja nun eindeutig etwas anderes als der Ausgangsbruch!
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:33 Mo 23.01.2006 | | Autor: | snowda |
Hi Loddar,
was ist denn das für eine "Probe"? Hab ich ehrlich gesagt noch nie gesehn.
Warum soll denn das Ergebnis wieder den Ausgangsterm ergeben??
Wenn ich jedoch auf deine Umformung wieder den Divisor multipliziere, bekomme ich den Ausgangsterm, also ist doch wohl Yumis Polomdiv. zulässig, oder seh ich da was falsch?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:39 Mo 23.01.2006 | | Autor: | Loddar |
Hallo snowda!
> Warum soll denn das Ergebnis wieder den Ausgangsterm
> ergeben??
Weil ich ja für das Integral den Wert des Bruches nicht verändern darf. Schließlich steht da auch ein Gleichheitszeichen dazwischen ...
> Wenn ich jedoch auf deine Umformung wieder den Divisor
> multipliziere, bekomme ich den Ausgangsterm, also ist doch
> wohl Yumis Polomdiv. zulässig, oder seh ich da was falsch?
Das Ergebnis nach Polynomdivision und Partialbruchzerlegung ist richtig von Yuma.
Gruß
Loddar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:37 Mo 23.01.2006 | | Autor: | Yuma |
Hallo Loddar,
ich glaube, wir reden aneinander vorbei...
Es geht doch zunächst mal um folgendes: Gilt diese Gleichung?
[mm]\bruch{8x^{3}+1}{2x^{3}+x^{2}}=4-\bruch{2}{x}+\bruch{1}{x^{2}}[/mm]
Probe:
[mm] (4-\bruch{2}{x}+\bruch{1}{x^{2}})*(2x^{3}+x^{2})=8x^{3}+4x^{2}-4x^{2}-2x+2x+1=8x^{3}+1[/mm]
Die Polynomdivision ist also korrekt und meine Antwort oben auch... oder?
MFG,
Yuma
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:05 Mo 23.01.2006 | | Autor: | Disap |
Moin zusammen.
> Hallo Loddar,
>
> ich glaube, wir reden aneinander vorbei...
>
> Es geht doch zunächst mal um folgendes: Gilt diese
> Gleichung?
>
> [mm]\bruch{8x^{3}+1}{2x^{3}+x^{2}}=4-\bruch{2}{x}+\bruch{1}{x^{2}}[/mm]
>
> Probe:
>
> [mm](4-\bruch{2}{x}+\bruch{1}{x^{2}})*(2x^{3}+x^{2})=8x^{3}+4x^{2}-4x^{2}-2x+2x+1=8x^{3}+1[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
>
> Die Polynomdivision ist also korrekt und meine Antwort oben
> auch... oder?
Die Polynomdivision war richtig.
Viel mehr Gedanken würde ich mir aber um Loddars Antwort machen (Ich verstehe zwar nichts von der Partialbruchzerlegung, aber wenn ich raten würde)
$ \bruch{4x^2-1}{2x^3+x^2} \ = \ \bruch{4x^2-1}{x^2\cdot{}(2x+1)} \ = \ \bruch{A}{x}+\bruch{B}{x^\red{2}}}+\bruch{C}{2x+1} $
Es könnte vielleicht \bruch{B}{x^\green{1}} heißen müssen... Evtl.
Edit: Ist aber doch richtig. *hmpf*
Abgesehen davon -> jetzt speziell an Loddar:
Hast Du denn mal die Probe gemacht und Deine drei Einzelbrüche des vermeintlichen Ergebnisses wieder zusammengefasst?
$ 4-\bruch{2}{x}+\bruch{1}{x^2} \ = \ \bruch{4x^2}{x^2}-\bruch{2x}{x^2}+\bruch{1}{x^2} \ = \ \bruch{4x^2-2x+1}{x^2} $
Und das ist ja nun eindeutig etwas anderes als der Ausgangsbruch!
Würde das Ergebnis einer Polynomdivison immer den Ausgangsbruch ergeben, wenn man den Hauptnenner sucht, dann wäre die Polynomdivision zur Bestimmung der Nullstellen wohl nutzlos. Irgendwie war das hier nicht so richtig koscher.
Viele Grüße Disap
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:19 Mo 23.01.2006 | | Autor: | Yuma |
Hallo Disap,
man kann die Partialbruchzerlegung so ansetzen wie Loddar es getan hat.
Man erhält dann
[mm] A=2, B=-1, C=0, [/mm]
also alles in allem wieder den Term, der bei meiner Polynomdivision herauskommt.
Bei seiner "Probe" war Loddar wohl ein bisschen auf Abwegen... wie bekomme ich das "fehlerhaft" bei meiner Antwort weg? (Bin erst seit heute dabei...)
MFG,
Yuma
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:44 Mo 23.01.2006 | | Autor: | Loddar |
Hallo Yuma!
Da habe ich das Ergebnis zunächst nicht bis zum Ende durchgerechnet ![[sorry]](/images/smileys/sorry.gif "[sorry]") ... dann komme ich auch auf Dein Ergebnis!
Aber ...
> wenn du die Polynomdivision durchführst, erhältst du ja
> folgendes:
>
> [mm]\bruch{8x^{3}+1}{2x^{3}+x^{2}}=4-\bruch{2}{x}+\bruch{1}{x^{2}}[/mm]
... das ist nicht das Ergebnis der eigentlichen Polynomdivision [mm] $\left(8x^3+1\right) [/mm] \ : \ [mm] \left(2x^3+x^2\right)$ [/mm] sondern bereits das Endergebnis nach der Partialbruchzerlegung. Von daher war das missverständlich formuliert.
Gruß
Loddar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:45 Mo 23.01.2006 | | Autor: | Yuma |
Doch, Loddar, darauf kommt man ALLEIN durch Polynomdivision!!
MFG,
Yuma
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:52 Mo 23.01.2006 | | Autor: | Loddar |
Hallo Yuma!
> Doch, Loddar, darauf kommt man ALLEIN durch Polynomdivision!!
Da ich auch auf einen Montag gerne etwas neues lerne, würde mich diese Variante durchaus interessieren ...
Gruß
Loddar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:04 Mo 23.01.2006 | | Autor: | Disap |
Moin zusammen.
Ich bin zwar nicht gefragt, aber ich helfe gerne:
Ich versuche gerne mal, das ganze vorzurechnen
[mm] (\red{8x^3}+1) [/mm] : [mm] (2x^3+x^2) [/mm] = [mm] \red{4}-\blue{\bruch{2}{x}}+ \green{\bruch{1}{x^2}}
[/mm]
- [mm] (8x^3+4x^2)
[/mm]
--------------
[mm] \blue{-4x^2}+1
[/mm]
- [mm] (-4x^2-2x)
[/mm]
--------------
[mm] \green{2x +1}
[/mm]
- (2x+1)
--------------
0
Schlechte Formatierung, aber ich denke, man kann es erkennen, oder?
Liebe Grüße
Disap
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:08 Mo 23.01.2006 | | Autor: | Yuma |
Hallo Disap,
jetzt bist du mir zuvorgekommen! 
Ist aber alles richtig, genauso habe ich es gemeint!
MFG,
Yuma
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:09 Mo 23.01.2006 | | Autor: | Loddar |
Hallo Disap und natürlich auch Yuma!
Okay, das meinte ich: habe ich was neues gelernt. Ich habe Polynomdivision bisher nur über ganzrationale Ergebnisterme betrachtet bzw. berechnet.
Aber so geht das ja wirklich super-schnell ... danke!
Gruß
Loddar
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:16 Mo 23.01.2006 | | Autor: | Loddar |
Hallo titanwurz!
Zunächst einmal kannst Du lediglich Brüche (d.h. gebrochenrationale Funktionen) direkt (d.h. unmittelbar) integrieren, wenn der Zählergrad echt kleiner ist als der Nennergrad.
In unserem Falle ist das nicht erfüllt, da Zählergrad und Nennergrad gleich sind. Daher ist die erwähnte Polynomdivision erforderlich.
Diese ergibt: [mm] $\bruch{8x^3+1}{2x^3+x^2} [/mm] \ = \ [mm] 4-\bruch{4x^2-1}{2x^3+x^2}$
[/mm]
Leider können wir den erhaltenen Bruch immer noch nicht direkt integrieren. Aber über die Nullstellen des Nenners können wir eine Partialbruchzerlegung vornehmen:
[mm] $\bruch{4x^2-1}{2x^3+x^2} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{4x^2-1}{x^2*(2x+1)} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{A}{x}+\bruch{B}{x^2}+\bruch{C}{2x+1}$
[/mm]
Nach der Ermittlung der Koeffizienten $A_$ , $B_$ und $C_$ kannst Du dann endlich die drei einzelnen Brüche separat für sich integrieren.
Gruß
Loddar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:56 Mo 23.01.2006 | | Autor: | Yuma |
Hallo Loddar,
ich will auch mal ein bisschen meckern:
> Zunächst einmal kannst Du lediglich Brüche (d.h.
> gebrochenrationale Funktionen) integrieren, wenn der
> Zählergrad echt kleiner ist als der Nennergrad.
So? Also ich kann [mm] \integral{\bruch{x^{2}-4}{x+2}dx} [/mm] aber ganz gut integrieren...?!
> In unserem Falle ist das nicht erfüllt, da Zählergrad und
> Nennergrad gleich sind. Daher ist die erwähnte
> Polynomdivision erforderlich.
>
> Diese ergibt: [mm]\bruch{8x^3+1}{2x^3+x^2} \ = \ 4-\bruch{4x^2-1}{2x^3+x^2}[/mm]
>
>
> Leider können wir den erhaltenen Bruch immer noch nicht
> direkt integrieren. Aber über die Nullstellen des Nenners
> können wir eine Partialbruchzerlegung vornehmen:
>
> [mm]\bruch{4x^2-1}{2x^3+x^2} \ = \ \bruch{4x^2-1}{x^2*(2x+1)} \ = \ \bruch{A}{x}+\bruch{B}{x^2}+\bruch{C}{2x+1}[/mm]
>
> Nach der Ermittlung der Koeffizienten [mm]A_[/mm] , [mm]B_[/mm] und [mm]C_[/mm] kannst
> Du dann endlich die drei einzelnen Brüche separat für sich
> integrieren.
Und wenn du das machst, kommst du genau auf den Term, den ich oben auch schon hatte...
MFG,
Yuma
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:47 Mo 23.01.2006 | | Autor: | Loddar |
Hallo Yuma!
> So? Also ich kann [mm]\integral{\bruch{x^{2}-4}{x+2}dx}[/mm] aber ganz gut integrieren...?!
Und das zweifle ich ernsthaft an, das Du das kannst, ohne zuvor die entsprechende Polynomdivision durchgeführt zu haben oder nach dem Faktorisieren zu kürzen!
Von daher ein ganz kleines bisschen albern Deinerseits dieser Einwand, oder? 
Gruß
Loddar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:56 Mo 23.01.2006 | | Autor: | Yuma |
Hallo Loddar,
worauf willst du hinaus??
Dass ich bei [mm]\bruch{x^{2}-4}{x+2}=x-2 [/mm] den Definitionsbereich des Terms verändere, ist mir klar. Das spielt aber im Fall der Integration über eine hebbare Lücke (wie in diesem Fall bei x=-2) keine Rolle.
Dass man bei der Ausgangsfrage von Titanwurz aufpassen muss, dass man nicht über den Nullpunkt integriert (sein Integrand hat einen Pol bei x=0), sollte klar sein. Abgesehen davon suchen wir hier nur Stammfunktionen!
MFG,
Yuma
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:12 Mo 23.01.2006 | | Autor: | Loddar |
Hallo Yuma!
> worauf willst du hinaus??
Dass du nicht unmittelbar aus dem Bruch heraus die Stammfunktion bilden kannst, sondern erst eine Umformung (hier kürzen von $(x+2)_$) vornimmst.
Nicht mehr und nicht weniger meinte ich hier ...
Gruß
Loddar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:27 Mo 23.01.2006 | | Autor: | Loddar |
Hallo Yuma!
> Der Satz in deiner Antwort war aber so formuliert, dass man
> gebrochen-rationale Funktionen, deren Zählergrad (echt)
> größer ist als der Nennergrad überhaupt nicht integrieren
> könne.
Da hast Du Recht ... das war nicht eindeutig formuliert.
Ich habe es nun abgeändert.
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:29 Mo 23.01.2006 | | Autor: | Yuma |
Hallo Loddar,
sorry, aber was ist denn eine Stammfunktion von
[mm] \bruch{x+2}{x^{2}+1} [/mm] ?
Deine Argumentation des "direkt Integrierens" ist mir noch nicht so ganz klar...
MFG,
Yuma
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:39 Mo 23.01.2006 | | Autor: | Yuma |
Sorry Leute,
das war keine Frage...
sucht jetzt bloß nicht nach Stammfunktionen für den Bruch!
Ich wollte nur wissen, was Loddar mit "direkt Integrieren" meint, weil ich seine Klassifizierung "ist oder ist nicht direkt integrierbar" nicht verstehe...
MFG,
Yuma
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:35 Mo 23.01.2006 | | Autor: | Loddar |
Hallo Titanwurz!
Könntest Du vielleicht nochmal angeben, wie genau der Nenner Deines zu integrierenden Bruches lautet? Dieser ist nicht eindeutig ...
Gruß
Loddar
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