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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:55 Mi 23.02.2011 | | Autor: | kaspanda |
| Aufgabe | Berechne das Integral:
[mm] \integral{\bruch{1}{4x^{2}-24x+100} dx} [/mm] |
Also, bin vermutlich einfach gerade etwas blind.
Laut Wolfram ist die Lösung:
[mm] \bruch{1}{16}*arctan(\bruch{x-3}{4})
[/mm]
Ich komme jedoch nicht ganz auf die [mm] \bruch{1}{16}
[/mm]
Mein Weg:
1) Feststellung: keine reelle Nullstelle, also keine Partialbruchzerlegung
2) [mm] \bruch{1}{4} [/mm] ausklammern, dann steht dort:
[mm] \bruch{1}{4}*\integral{\bruch{1}{x^{2}-6x+25} dx}
[/mm]
3) Jetzt quadratische Ergünzung:
[mm] \bruch{1}{4}*\integral{\bruch{1}{x^{2}-6x+9-9+25} dx} [/mm] = [mm] \bruch{1}{4}*\integral{\bruch{1}{(x-3)^{2}+16} dx}
[/mm]
4) [mm] \bruch{1}{16} [/mm] ausklammern
[mm] \bruch{1}{64}*\integral{\bruch{1}{(\bruch{x-3}{4})^2+1} dx}
[/mm]
5) Und jetzt komme ich halt auf:
[mm] \bruch{1}{64}*arctan(\bruch{x-3}{4})
[/mm]
Mein Denkfehler kann ja nur bei Schritt 5 liegen, oder...?
PLEASE HELP!!!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:58 Mi 23.02.2011 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Berechne das Integral:
> [mm]\integral{\bruch{1}{4x^{2}-24x+100} dx}[/mm]
> Also, bin
> vermutlich einfach gerade etwas blind.
> Laut Wolfram ist die Lösung:
>
> [mm]\bruch{1}{16}*arctan(\bruch{x-3}{4})[/mm]
>
> Ich komme jedoch nicht ganz auf die [mm]\bruch{1}{16}[/mm]
>
> Mein Weg:
> 1) Feststellung: keine reelle Nullstelle, also keine
> Partialbruchzerlegung
>
> 2) [mm]\bruch{1}{4}[/mm] ausklammern, dann steht dort:
> [mm]\bruch{1}{4}*\integral{\bruch{1}{x^{2}-6x+25} dx}[/mm]
>
> 3) Jetzt quadratische Ergünzung:
> [mm]\bruch{1}{4}*\integral{\bruch{1}{x^{2}-6x+9-9+25} dx}[/mm] =
> [mm]\bruch{1}{4}*\integral{\bruch{1}{(x-3)^{2}+16} dx}[/mm]
>
> 4) [mm]\bruch{1}{16}[/mm] ausklammern
> [mm]\bruch{1}{64}*\integral{\bruch{1}{(\bruch{x-3}{4})^2+1} dx}[/mm]
Soweit ok.
>
> 5) Und jetzt komme ich halt auf:
> [mm]\bruch{1}{64}*arctan(\bruch{x-3}{4})[/mm]
>
>
> Mein Denkfehler kann ja nur bei Schritt 5 liegen, oder...?
Ja. Mach das in zwei Schritten: substituiere [mm] $z=\bruch{x-3}{4}$ [/mm] (da musst du durch [mm] $\bruch{dz}{dx}=\bruch{1}{4}$ [/mm] teilen) und integriere dann.
Viele Grüße
Rainer
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 00:48 Do 24.02.2011 | | Autor: | kaspanda |
... Danke für die Gedankenstütze. Diese blöde Substitution will sich einfach nicht in meinem Kopf verselbständigen...
Good N8!
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