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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:41 Sa 11.02.2006 | | Autor: | Biene85 |
Hallo Leute
Ich bin neu hier und hab gleich ne Frage. Ich will folgende Funktion integrieren.
[mm] y=\bruch{e^x+2}{e^x+1}
[/mm]
Also ich habs schon mit Substitution in allen Varianten probiert und mit dieser Methode wo man einen Qutienten durch u ersetzt (weiss grad ni wie die heisst). Trotzdem kommt immer wieder ne Stelle wo es nicht weiter geht. Jetzt hab ich net mel mehr ne Idee wie ran gehen könnte.
Bitte gebt mir mal nen Tip.
Danke Biene
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo Biene,
> Ich bin neu hier und hab gleich ne Frage. Ich will folgende
> Funktion integrieren.
>
> [mm]y=\bruch{e^x+2}{e^x+1}[/mm]
>
> Also ich habs schon mit Substitution in allen Varianten
> probiert
Bei der obigen Funktion sollte die Umkehrfunktion der Exponentialfunktion ganz hilfreich sein, weil sie uns von dem [mm]e^x[/mm] "erlöst"  :
Sei [mm]x(k) := \ln \nu[/mm]. Dann gilt nach der Substitutionsregel:
[mm]\int{\frac{e^x+2}{e^x+1}\mathrm{d}x} = \int{\frac{e^{\ln\nu}+2}{e^{\ln\nu}+1}\ln'\nu\mathrm{d}\nu} = \int{\frac{\nu+2}{\nu(\nu+1)}\mathrm{d}\nu}[/mm]
Jetzt wenden wir die ![[]](/images/popup.gif) Partialbruchzerlegung auf den Integranden an:
[mm]\frac{\nu+2}{\nu(\nu+1)} = \frac{A}{\nu}+\frac{B}{\nu+1}[/mm]
Multiplikation mit dem Hauptnenner ergibt:
[mm]\nu+2 = A(\nu+1) + B\nu[/mm]
Für [mm]\nu = 0[/mm] erhält man
[mm]2 = A[/mm]
Für [mm]\nu = -1[/mm] erhält man
[mm]1 = -B \gdw B = -1[/mm]
Dann gilt also insgesamt:
[mm]\int{\frac{\nu+2}{\nu(\nu+1)}\mathrm{d}\nu} = 2\int{\frac{1}{\nu}\mathrm{d}\nu}-\int{\frac{1}{\nu+1}\mathrm{d}\nu}[/mm]
Versuch' mal den obigen Ausdruck zu integrieren. Danach wendest Du die Rücksubstitution an (Es gilt ja: [mm]x = \ln\nu \gdw \nu = e^x[/mm]) und bist fertig.
Zur Kontrolle: Es muß [mm]2x - \ln\left(e^x + 1\right)[/mm] rauskommen.
Viele Grüße
Karl
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