Integration im IR^{3} < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:11 Fr 16.01.2015 | | Autor: | Topologe |
| Aufgabe | Berechnen Sie folgendes Integral:
[mm] \integral_{M}{z^{4} dS}, M=\{(x,y,z) \in \IR^{3};x^{2}+y^{2}+z^{2}=4\} [/mm] |
Lösung:
Wir wählen die Karte
[mm] \psi(\phi,\theta)=\pmat{ 2cos(\phi)cos(\theta) \\ 2sin(\phi)cos(\theta) \\ 2sin(\theta) }
[/mm]
[mm] (\phi,\theta) \in (0,2\pi) \times (-\bruch{\pi}{2},\bruch{\pi}{2}). [/mm] Die Gramsche Determinante ist [mm] 4cos(\theta). [/mm] Das Integral wird somit
[mm] \integral_{M}{z^{4} dS} [/mm] = [mm] \integral_{0}^{2\pi}\integral_{-\bruch{\pi}{2}}^{\bruch{\pi}{2}}4cos 2^{4}\theta sin^{4} \theta d\theta d\phi [/mm] = [mm] \bruch{256\pi}{5}
[/mm]
Leider verstehe ich diese Lösung überhaupt nicht. Ist jemand in der Lage, mir die Lösung kleinschrittig zu erläutern?
Kann man diese Aufgabe nicht mit normalen Kugelkoordinaten lösen, also
[mm] \integral_{0}^{2\pi}\integral_{0}^{2\pi}\integral_{0}^{2} r^{4}cos^{4}(\rho) r^{2}sin(\rho)dr d\rho d\phi?
[/mm]
LG
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> Berechnen Sie folgendes Integral:
> [mm]\integral_{M}{z^{4}\, dS}\ ,\qquad M=\{(x,y,z) \in \IR^{3};x^{2}+y^{2}+z^{2}=4\}[/mm]
>
> Lösung:
> Wir wählen die Karte
> [mm]\psi(\phi,\theta)=\pmat{ 2\,cos(\phi)cos(\theta) \\ 2\,sin(\phi)cos(\theta) \\ 2\,sin(\theta) }[/mm]
>
> [mm](\phi,\theta) \in (0,2\pi) \times (-\bruch{\pi}{2},\bruch{\pi}{2}).[/mm]
> Die Gramsche Determinante ist [mm]4\,cos(\theta)\,.[/mm]
> Das Integral wird somit
>
> [mm]\integral_{M}{z^{4} dS}[/mm] =
> [mm]\integral_{0}^{2\pi}\integral_{-\bruch{\pi}{2}}^{\bruch{\pi}{2}}4cos 2^{4}\theta sin^{4} \theta d\theta d\phi[/mm] ![[haee]](/images/smileys/haee.gif "[haee]")
> = [mm]\bruch{256\pi}{5}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
>
> Leider verstehe ich diese Lösung überhaupt nicht. Ist
> jemand in der Lage, mir die Lösung kleinschrittig zu
> erläutern?
Die Hauptsache wäre, das Ganze deutlich aufzuschreiben.
$\integral_{M}{z^{4}\, dS}\ =\ \integral_{\phi=0}^{2\pi}\left(\ \integral_{\theta=-\bruch{\pi}{2}}^{\bruch{\pi}{2}}\underbrace{\left(2\,sin(\theta)\right)^4}_{z^4}\,*\ \underbrace{4\,cos(\theta)}_{Gram} \ d\theta\right) d\phi$
$\ =\ 64\,* \integral_{\phi=0}^{2\pi}\left(\ \integral_{\theta=-\bruch{\pi}{2}}^{\bruch{\pi}{2}}\ sin^4(\theta)}\,*\ cos(\theta) \ d\theta\right) d\phi$
Das innere Integral kann man nun leicht mittels Substitution
lösen. Die äußere Integration besteht dann aus einer
einfachen Multiplikation mit dem Faktor $2\,\pi$ .
> Kann man diese Aufgabe nicht mit normalen Kugelkoordinaten
> lösen, also
>
> [mm]\integral_{0}^{2\pi}\integral_{0}^{2\pi}\integral_{0}^{2} r^{4}cos^{4}(\rho) r^{2}sin(\rho)dr d\rho d\phi?[/mm]
Mit dieser Formel würde man über die Vollkugel integrieren.
In der vorliegenden Aufgabe ist aber nicht ein 3D-Integral
über die Vollkugel, sondern nur ein 2D-Integral über die
Oberfläche (Sphäre) der Kugel gefragt.
LG , Al-Chwarizmi
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:34 Fr 16.01.2015 | | Autor: | Topologe |
Wow, danke. Hatte übersehen, dass es hier um die Sphäre geht.
Aber gibt es für die Gramsche Determinante einen Trick? Weil, da rechnet man sich ja dumm und dusselig in der Klausur (ist eine Klausuraufgabe).
Hab da nur die Definition gefunden: Die Jacobi-Matrix von [mm] \psi(\phi,\theta) [/mm] und deren Transponierte bilden, dann miteinander multiplizieren um auf eine quadratische Matrix zu kommen und schließlich die glorreiche Determinante berechnen:
Das wäre dann [mm] D\psi=\pmat{ -2sin(\phi)cos(\theta) & -2cos(\phi)sin(\theta) \\ 2cos(\phi)cos(\theta) & -2sin(\phi)sin(\theta) \\ 0 & 2cos(\theta) }
[/mm]
Oder ist die Determinante vllt immer [mm] R^{2}cos(\theta)? [/mm] (R = Radius)
LG
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:47 Fr 16.01.2015 | | Autor: | Topologe |
Eines ist mir noch nicht ganz klar:
Die Grenzen beim 2. Integral: Warum im Intervall [mm] [-\bruch{\pi}{2},\bruch{\pi}{2}] [/mm] und nicht auch [mm] [0,2\pi]?
[/mm]
LG
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> Eines ist mir noch nicht ganz klar:
>
> Die Grenzen beim 2. Integral: Warum im Intervall
> [mm][-\bruch{\pi}{2},\bruch{\pi}{2}][/mm] und nicht auch [mm][0,2\pi]?[/mm]
Das ist leicht zu beantworten. Stell dir das Ganze auf der
Erdoberfläche bzw. auf einem Globus vor, der mit einem
geografischen Koordinatennetz aus Breitenkreisen und
Längen - (Halb-) Kreisen bzw. Meridianen versehen ist.
Die Längenkoordinate läuft z.B. von [mm] -\pi [/mm] bis [mm] +\pi [/mm] (oder
wenn du magst von 180° West bis 180° Ost. Zu jedem
in diesem Intervall (oder auch im Intervall
[0 ... 2 [mm] \pi [/mm] ] ) liegenden Winkel [mm] \phi [/mm] erstreckt sich ein
Meridian als Halbkreis vom Südpol bis zum Nordpol,
also von [mm] \theta [/mm] = -90° = - π/2 bis zu [mm] \theta [/mm] = +90° = + π/2 .
LG , Al-Chw.
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> Gibt es für die Gramsche Determinante einen Trick?
> Weil, da rechnet man sich ja dumm und dusselig in der
> Klausur (ist eine Klausuraufgabe).
> Hab da nur die Definition gefunden: Die Jacobi-Matrix von
> [mm]\psi(\phi,\theta)[/mm] und deren Transponierte bilden, dann
> miteinander multiplizieren um auf eine quadratische Matrix
> zu kommen und schließlich die glorreiche Determinante
> berechnen:
>
> Das wäre dann [mm]D\psi=\pmat{ -2sin(\phi)cos(\theta) & -2cos(\phi)sin(\theta) \\ 2cos(\phi)cos(\theta) & -2sin(\phi)sin(\theta) \\ 0 & 2cos(\theta) }[/mm]
>
> Oder ist die Determinante vllt immer [mm]R^{2}cos(\theta)?[/mm] (R =
> Radius)
Naja, was heißt schon "immer" ?
Falls es sich um ein Flächenstück handelt, das auf der
Oberfläche einer Kugel vom Radius R liegt: Ja .
Im allgemeinen Fall einer beliebigen Fläche: Nein.
Man könnte zwar ohne den Begriff der Gramschen
Determinante auskommen, wenn man das vektorielle
Flächenelement mittels Vektorprodukt aus den partiellen
Ableitungen berechnet:
![[]](/images/popup.gif) Flächenelement
Das wird aber rechnerisch kaum einfacher.
LG , Al-Chwarizmi
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:38 Sa 17.01.2015 | | Autor: | Topologe |
Ok, vielen Dank. Schon wieder ein wenig schlauer 
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