Integration in Polarkoordinat. < Integration < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:00 Mi 02.11.2011 | | Autor: | zoj |
| Aufgabe | Seien R und [mm] \alpha [/mm] positiv. Die kreisförmige Platte $ B:={(x,y) [mm] \in \IR^{2}|x^{2}+y^{2} \le \IR^{2}}$ [/mm] eines Kondensators werde durch Elektronen aufgeladen, welche sich gemäß der Flächenladungsdichte $ [mm] \rho(x,y) [/mm] = [mm] -\alpha(R^{2}-x^{2}-y^{2}) [/mm] $auf B verteilen.
Berechnen Sie die Gesammtladung $Q := [mm] \int\int_{B} \rho [/mm] dF$ der Platte mithilfe von Polarkoordinaten. |
In den Karthesischen Koordinaten würde ich es folgendermaßen lösen:
$ [mm] \int_{-R}^{R} \int_{-sqrt{R^{2}-x^{2}}}^{sqrt{R^{2}-x^{2}}} -\alpha(R^{2}-x^{2}-y^{2})dy [/mm] dx $
Aber ich soll das ja in Polarkoordinaten lösen.
[mm] $x=rcos\phi$
[/mm]
[mm] $y=rsin\phi$
[/mm]
Die Funktionaldeterminante liefert mir ein $r$.
Das Integral sieht dann so aus:
$ [mm] \int_{0}^{r} \int_{0}^{2\pi} -\alpha(R^{2}-(rcos\phi$)^{2}-(rsin\phi$)^{2}) [/mm] r dr [mm] d\phi [/mm] $
Ist es soweit richig?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:41 Mi 02.11.2011 | | Autor: | fred97 |
> Seien R und [mm]\alpha[/mm] positiv. Die kreisförmige Platte
> [mm]B:={(x,y) \in \IR^{2}|x^{2}+y^{2} \le \IR^{2}}[/mm] eines
> Kondensators werde durch Elektronen aufgeladen, welche sich
> gemäß der Flächenladungsdichte [mm]\rho(x,y) = -\alpha(R^{2}-x^{2}-y^{2}) [/mm]auf
> B verteilen.
> Berechnen Sie die Gesammtladung [mm]Q := \int\int_{B} \rho dF[/mm]
> der Platte mithilfe von Polarkoordinaten.
> In den Karthesischen Koordinaten würde ich es
> folgendermaßen lösen:
> [mm]\int_{-R}^{R} \int_{-sqrt{R^{2}-x^{2}}}^{sqrt{R^{2}-x^{2}}} -\alpha(R^{2}-x^{2}-y^{2})dy dx[/mm]
>
> Aber ich soll das ja in Polarkoordinaten lösen.
> [mm]x=rcos\phi[/mm]
> [mm]y=rsin\phi[/mm]
>
> Die Funktionaldeterminante liefert mir ein [mm]r[/mm].
>
> Das Integral sieht dann so aus:
> [mm]\int_{0}^{r} \int_{0}^{2\pi} -\alpha(R^{2}-(rcos\phi[/mm][mm] )^{2}-(rsin\phi[/mm]
> [mm])^{2}) r dr d\phi[/mm]
>
> Ist es soweit richig?
Ja, aber denke noch an [mm] cos^2(\phi)+sin^2(\phi)=1
[/mm]
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:17 Mi 02.11.2011 | | Autor: | zoj |
ok,
Habe raus:
$ [mm] \int_{0}^{r} \int_{0}^{2\pi} -\alpha(r^{2}-(rcos\phi [/mm] $$ [mm] )^{2}-(rsin\phi )^{2}) [/mm] r [mm] d\phi [/mm] dr $
[mm] =$-\alpha 2\pi \int_{0}^{r} (r^{2}-r^{2}(cos\phi^{2}+sin\phi )^{2})r [/mm] dr $
[mm] =$-\alpha 2\pi \int_{0}^{r} -r^{5} [/mm] dr $
= [mm] \frac{1}{3}\pi \alpha r^{6}
[/mm]
Habe noch eine Frage zu diesen Typ der Aufgaben.
In dieser Aufgabe habe ich die Kreis-Oberfläche berechnet.
Da ich in Zylinderkoordinaten rechnen sollte, habe ich die Funktionaldeterminante berechnet. Diese liefert mir ein Element, den ich mit meinem dF multiplizieren sollte.
Aber was wäre, wenn ich das Volumen berechnen sollte?
Wäre dann mein $dF =r dr [mm] d\phi [/mm] dz$?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:21 Mi 02.11.2011 | | Autor: | fred97 |
> ok,
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> Habe raus:
> [mm]\int_{0}^{r} \int_{0}^{2\pi} -\alpha(r^{2}-(rcos\phi[/mm][mm] )^{2}-(rsin\phi )^{2}) r d\phi dr[/mm]
Das muß doch lauten:
[mm]\int_{0}^{r} \int_{0}^{2\pi} -\alpha(R^{2}-(rcos\phi[/mm][mm] )^{2}-(rsin\phi )^{2}) r d\phi dr[/mm]
FREd
>
> =[mm]-\alpha 2\pi \int_{0}^{r} (r^{2}-r^{2}(cos\phi^{2}+sin\phi )^{2})r dr[/mm]
>
> =[mm]-\alpha 2\pi \int_{0}^{r} -r^{5} dr[/mm]
> = [mm]\frac{1}{3}\pi \alpha r^{6}[/mm]
>
> Habe noch eine Frage zu diesen Typ der Aufgaben.
> In dieser Aufgabe habe ich die Kreis-Oberfläche
> berechnet.
> Da ich in Zylinderkoordinaten rechnen sollte, habe ich die
> Funktionaldeterminante berechnet. Diese liefert mir ein
> Element, den ich mit meinem dF multiplizieren sollte.
>
> Aber was wäre, wenn ich das Volumen berechnen sollte?
> Wäre dann mein [mm]dF =r dr d\phi dz[/mm]?
>
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:38 Mi 02.11.2011 | | Autor: | zoj |
Ups!
$ [mm] \int_{0}^{r} \int_{0}^{2\pi} -\alpha(R^{2}-(rcos\phi [/mm] $$ [mm] )^{2}-(rsin\phi )^{2}) [/mm] r [mm] d\phi [/mm] dr $
$ [mm] -\alpha \int_{0}^{r} \int_{0}^{2\pi} (R^{2}-(r^{2}cos^{2}\phi [/mm] $$ [mm] )-(r^{2}sin^{2}\phi [/mm] )) r [mm] d\phi [/mm] dr $
$ [mm] -\alpha \int_{0}^{r} \int_{0}^{2\pi} (R^{2} -r^{2} ((cos^{2}\phi [/mm] $$ [mm] )+(sin^{2}\phi [/mm] ))) r [mm] d\phi [/mm] dr $
$ [mm] -\alpha \int_{0}^{r} \int_{0}^{2\pi} (R^{2} -r^{2}) [/mm] r [mm] d\phi [/mm] dr $
$ [mm] -\alpha 2\pi \int_{0}^{r} rR^{2} -r^{3} [/mm] dr $
$ [mm] -\alpha 2\pi [/mm] [ [mm] \frac{1}{2}r^{2}R^{2} -\frac{1}{4}r^{4} ]^{r}_{0} [/mm] $
$ [mm] -\alpha 2\pi [/mm] ( [mm] \frac{1}{2}r^{2}R^{2} -\frac{1}{4}r^{4}) [/mm] $
$ [mm] -\alpha \pi (r^{2}R^{2} -\frac{1}{2}r^{4}) [/mm] $
Das sollte nun stimmen.
Habe noch eine Frage zu diesen Typ der Aufgaben.
In dieser Aufgabe habe ich die Kreis-Oberfläche berechnet.
Da ich in Zylinderkoordinaten rechnen sollte, habe ich die
Funktionaldeterminante berechnet. Diese liefert mir ein
Element, den ich mit meinem dF multiplizieren sollte.
Aber was wäre, wenn ich das Volumen berechnen sollte?
Wäre dann mein $ dF =r dr [mm] d\phi [/mm] dz $?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:52 Mi 02.11.2011 | | Autor: | fred97 |
Pardon. Oben habe ich noch was übersehen: es muß lauten
$ [mm] \int_{0}^{R} \int_{0}^{2\pi} -\alpha(R^{2}-(rcos\phi [/mm] $$ [mm] )^{2}-(rsin\phi )^{2}) [/mm] r [mm] d\phi [/mm] dr $
(obere Int. grenze beim ersten Integral: R statt r)
Jetzt mußt Du leider nochmal ran.
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:14 Mi 02.11.2011 | | Autor: | zoj |
Alle guten Dinge sind drei :)
So, nochmal zur Aufgabe. Das mit der oberen Grenze habe ich auch übersehen :)
$ [mm] \int_{0}^{R} \int_{0}^{2\pi} -\alpha(R^{2}-(rcos\phi [/mm] $$ [mm] )^{2}-(rsin\phi )^{2}) [/mm] r [mm] d\phi [/mm] dr $
[mm] $-\alpha \int_{0}^{R} \int_{0}^{2 \pi} R^{2}r -r^{3} d\phi [/mm] dr$
[mm] $-\alpha 2\pi [\frac{1}{2}R^{2}r^{2} -\frac{1}{4}r^{4}]_{0}^{R}$
[/mm]
[mm] $-\alpha 2\pi (\frac{1}{2}R^{4} -\frac{1}{4}R^{4})$
[/mm]
[mm] $-\alpha\pi \frac{1}{2}R^{4}$
[/mm]
Hoffentlich stimmt das jetzt.
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Hallo zoj,
> Alle guten Dinge sind drei :)
>
> So, nochmal zur Aufgabe. Das mit der oberen Grenze habe ich
> auch übersehen :)
>
> [mm]\int_{0}^{R} \int_{0}^{2\pi} -\alpha(R^{2}-(rcos\phi[/mm][mm] )^{2}-(rsin\phi )^{2}) r d\phi dr[/mm]
>
> [mm]-\alpha \int_{0}^{R} \int_{0}^{2 \pi} R^{2}r -r^{3} d\phi dr[/mm]
>
> [mm]-\alpha 2\pi [\frac{1}{2}R^{2}r^{2} -\frac{1}{4}r^{4}]_{0}^{R}[/mm]
>
> [mm]-\alpha 2\pi (\frac{1}{2}R^{4} -\frac{1}{4}R^{4})[/mm]
>
> [mm]-\alpha\pi \frac{1}{2}R^{4}[/mm]
>
> Hoffentlich stimmt das jetzt.
Ja, das stimmt jetzt. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Gruss
MathePower
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:33 Mi 02.11.2011 | | Autor: | zoj |
Juhu!
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