Integration mi 2 Var./Polarko. < Integration < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:10 Mi 13.07.2011 | | Autor: | jooo |
| Aufgabe | | Welches endliche Volumen schliesst der Graph von z = 4 – x² – y² mit der x-y-Ebene ein? |
HALLO ZUSAMMEN
kann mir jemand sagen wie ich auf den audruck [mm] 4-r^2
[/mm]
bei dem integral im Polarkordinadensystem
[mm] V=\integral_{\varphi=0}^{2pi}\integral_{r=0}^{2}{(4-r^2)r dr d\varphi}
[/mm]
komme
Gruß Jooo
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:39 Mi 13.07.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
[mm] x=rcos\phi
[/mm]
[mm] y=rsin\phi x^2+y^2=r^2*(sin^2\phi+cos^2\phi)=r^2
[/mm]
also [mm] z=4-r^2
[/mm]
aber dein Integral ist so kein Volumenintegral! es wurde also schon über dz von 0 bis [mm] 4-r^2 [/mm] integriert!
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:35 Fr 15.07.2011 | | Autor: | jooo |
Danke für deine Hilfe!
1.Verstehe aber nicht ganz weshalb es kein Volumenintegral ist!
2.
Angenommen es würde heißen Integrieren Sie die Funktion z = 4 – x² – y² in dem Bereich der von den höhenlinien f(x,y)=3 Eingeschlossen wird.
Kann ich das dann auch in Polarkordinaten berechenn oder muß ich das im Kartesichen berechenn? Das wäre ja dann dass Volumen eines Nach unten geöffneten Paraboloids bei dem die "Spitze" bei Z=3 abgetrennt ist! richtig?
Gruß Jooo
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> Danke für deine Hilfe!
> 1.Verstehe aber nicht ganz weshalb es kein Volumenintegral
> ist!
Das Doppelintegral $ [mm] V=\integral_{\varphi=0}^{2pi}\integral_{r=0}^{2}{(4-r^2)*r\ dr\, d\varphi} [/mm] $
stellt das Volumen des beschriebenen Körpers dar. Man könnte
es aber auch als Dreifachintegral schreiben:
$ [mm] V=\iiint\limits_{\mathrm{K\ddot orper}}dV\ [/mm] =\ [mm] \integral_{\varphi=0}^{2pi}\integral_{r=0}^{2}\integral_{z=0}^{4-r^2}{1\ dz\,*r\ dr\, d\varphi} [/mm] $
> 2.
> Angenommen es würde heißen Integrieren Sie die Funktion
> z = 4 – x² – y² in dem Bereich der von den
> höhenlinien f(x,y)=3 eingeschlossen wird.
>
> Kann ich das dann auch in Polarkoordinaten berechnen oder
> muß ich das im Kartesichen berechenn? Das wäre ja dann
> dass Volumen eines nach unten geöffneten Paraboloids bei
> dem die "Spitze" bei Z=3 abgetrennt ist! richtig?
Ich würde das etwas anders beschreiben: Der zu berech-
nende Restkörper ist im Wesentlichen ein Zylinder, der
aber oben noch den kleinen paraboloidförmigen "Deckel"
hat. Zur Berechnung würde ich wieder Polar- (bzw. Zylinder-)
Koordinaten benützen.
LG Al-Chw.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:52 Fr 15.07.2011 | | Autor: | jooo |
| Aufgabe | Integrieren Sie die Funktion
> z = 4 – x² – y² in dem Bereich der von den
> höhenlinien f(x,y)=3 eingeschlossen wird. |
Danke!
Heißt das Integral dann so:
[mm] V=\integral_{\varphi=0}^{2pi}\integral_{r=0}^{1,5}{(4-r^2)r dr d\varphi}
[/mm]
Gruß Jooo
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:55 Fr 15.07.2011 | | Autor: | leduart |
hallo
statt von den Höhenlinien zu sprechen wäre vielleicht besser von der Ebene z=3 zu sprechen. die Höhenlinie deiner fkt ist dann der kreis [mm] x^2+y^2=1
[/mm]
aus der aufgabe ist nicht klar, ob du das volumen oberhalb der Ebene also von z=3 bis z=4 oder das zwischen xy_ebene und z=3 berechnen sollst.
zeichne das doch mal im Scnitt mit der [mm] z_x [/mm] Ebene oder der z-y ebene ein.
r=0 bis 1.3 ist sicher falsch.
soweit ich das interpretiere wird "eingeschlossen das Volumen zwischen z=3 und z=4 aber al nahm an, dass auch noch der Zylinder bis zur x-y- ebene dazugehört. Ich seh das nicht.
Das Wort "Höhenlinien" mehrzahl macht für mich bei der festen Höhe z=3 keinen Sinn, und wie man ein volumen von einer Linie "einschließen kann seh ich auch nicht. sinn voll wäre Höhenlinien [mm] f(x,y)\ge [/mm] 3 ist das wirklich die Orginalaufgabe?
Auf jeden Fall ne Querschnitsskizze machen und natürlich auch die Kreise in den z=const Ebenen sehen.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:13 Fr 15.07.2011 | | Autor: | jooo |
Hallo,
Was stimmt nun skizze A oder B?
Nach der Beschreibung von Al-Chwarizmi müsste B stimmen,Ich meine jedoch das A stimmt(mit der Annahme des Volumens unter der Höhenlinie).Oder stimmt keine von beiden?.
[Dateianhang nicht öffentlich]
Gruß Jooo
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: JPG) [nicht öffentlich]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:11 Fr 15.07.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
Du hast keine Antwort auf die Frage nach der wörtlichen Aufgabe gegeben.
die erst Zeichnung sagt mir als Aufgabe: Bestimme das Volumen unterhalb f(x,y) zwischen z=0 (bzw x-y-Ebene) und z=3
die zweite sagt: bestimme das volumen unter und über der Höhenlinie z=3
eine Dritte aufgabe, die ich zuerst dachte wäre
Bestimme das Volumen das die Ebene z=3 und f(x,y) einschließen, das wäre Plot B ohne Zylinder.
und schliesslich kannst du nur das was f(x,y)=3 begrenzt, nämlich die fläche eines Kreises berechnen. so klingt die aufgabe noch am ehesten.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:15 Fr 15.07.2011 | | Autor: | jooo |
| Aufgabe | Richtige Formulierung:
Integrieren Sie die Funktion
> z = 4 – x² – y²
über den Bereich A der von der
höhenlinie f(x,y)=3 eingeschlossen wird.Erläutern Sie mit Hilfe einer Querschnittszeichnung in der Ebene y=0 ,wie man das Ergebnis dieser Integration interpretieren kann.
(Das wareine alte Prüfungsaufgabe) |
Sorry nochmals für die schlechte Formulierung von mir.Aber ist diese Formulierung besser?
Gruß Jooo
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> Richtige Formulierung:
> Integrieren Sie die Funktion
> > z = 4 – x² – y²
> über den Bereich A der von der
> höhenlinie f(x,y)=3 eingeschlossen wird.Erläutern Sie
> mit Hilfe einer Querschnittszeichnung in der Ebene y=0 ,wie
> man das Ergebnis dieser Integration interpretieren kann.
> (Das wareine alte Prüfungsaufgabe)
>
> Sorry nochmals für die schlechte Formulierung von mir.Aber
> ist diese Formulierung besser?
>
> Gruß Jooo
Deutlicher wäre die Aufgabe, wenn da stünde:
Integrieren Sie die Funktion
$\ z\ =\ f(x,y)\ =\ [mm] 4-x^2-y^2$
[/mm]
über den Bereich A in der x-y-Ebene, der von der
Höhenlinie $\ f(x,y)\ =\ 3$ eingeschlossen wird.
LG
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:37 Sa 16.07.2011 | | Autor: | jooo |
> Integrieren Sie die Funktion
> > z = 4 – x² – y²
> über den Bereich A der von der
> höhenlinie f(x,y)=3 eingeschlossen wird.Erläutern Sie
> mit Hilfe einer Querschnittszeichnung in der Ebene y=0 ,wie
> man das Ergebnis dieser Integration interpretieren kann.
Ist die Formulirung so eindeutig genug? und wie sieht nun das Volumen das berechnet werden muss aus?
Gruß Jooo
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:34 Sa 16.07.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
Das beste was ich daruas machen kann ist das Stück parabolid oberhalb z=3.
da du ja anscheined nur übst rechne doch alle 3 Varianten, das ist kaum mehr Arbeit.
Gruss leduart
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> Hallo
> Das beste was ich daruas machen kann ist das Stück
> parabolid oberhalb z=3.
> da du ja anscheined nur übst rechne doch alle 3
> Varianten, das ist kaum mehr Arbeit.
> Gruss leduart
Hallo,
den Vorschlag, alle denkbaren Varianten anzugeben,
wollte ich auch schon machen.
Allerdings denke ich immer noch, dass es um das
Integral
[mm] $\iint\limits_{A}f(x,y)\ dx\,dy$
[/mm]
geht, wobei $\ A\ =\ [mm] \{(x,y)\ |\ x^2+y^2\le1\,\}$
[/mm]
In der Aufgabenstellung ist jedenfalls noch wichtig,
dass klar gemacht wird, was mit f gemeint ist,
nämlich [mm] f(x,y)=4-x^2-y^2 [/mm] .
LG Al
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:32 Sa 16.07.2011 | | Autor: | jooo |
[mm] V=\integral_{\varphi=0}^{2pi}\integral_{r=0}^{1}{(4-r^2)r dr d\varphi} [/mm]
wäre dann Bild Nr.B oder?
Und wie würde A aussehen? Benötige ich da ein Dreifachintegral
[Dateianhang nicht öffentlich]
Gruß Jooo
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: JPG) [nicht öffentlich]
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> [mm]V=\integral_{\varphi=0}^{2pi}\integral_{r=0}^{1}{(4-r^2)r dr d\varphi}[/mm]
> wäre dann Bild Nr.B oder?
Ja.
> Und wie würde A aussehen?
(das war aber kaum gemeint)
> Benötige ich da ein Dreifachintegral
[Dateianhang nicht öffentlich]
Zur Berechnung des Volumens von A würde ich nun
die bisherigen Resultate verwenden oder ein Einfach-
integral für das Volumen eines Rotationskörpers
(wie in der Schule) verwenden.
LG Al-Chw.
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> Angenommen es würde heißen Integrieren Sie die Funktion
> z = 4 – x² – y² in dem Bereich der von den
> höhenlinien f(x,y)=3 Eingeschlossen wird.
Hallo Jooo,
wie du den Antworten von Leduart und mir entnehmen
kannst, ist dies einfach keine klar und deutlich
gestellte Aufgabe.
Falls die Formulierung von einer Person stammt, die
Mathe unterrichtet, sollte sie zunächst einen Kurs
absolvieren, in welchem man lernen kann, Aufgaben
in verständlicher Sprache zu stellen.
LG Al-Chw.
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