Integration mit Polarkoordinat < Integrationstheorie < Maß/Integrat-Theorie < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:34 Mo 29.06.2015 | | Autor: | egon111 |
| Aufgabe | | Integriere mit Hilfe von Polarkoordinaten [mm] \integral_{0}^{2}{\integral_{0}^{\wurzel{2x-x^{2}}}{\wurzel{x^{2}+y^{2} }dy}dx} [/mm] |
Es wird über die Halbkreisfläche mit x=1+r*cos(h), y=r*sin(h) ; 0<=r<=1 und 0<=h<=Pi [mm] integriert.\integral_{0}^{pi}{ \integral_{0}^{1}{r*\wurzel{2}*\wurzel{r*cos(h)+1}dr}dh}, [/mm] wobei [mm] 2*x=x^{2}+y^{2} [/mm] ist und r ist die Funktionaldeterminate für den Koordinatenwechsel. Ist das richtig? Falls ja, gibt es eine bessere Parametrisierung? Und wenn nicht, wie integriert man das?
Hier, falls alles richtig war ,stecke ich fest Substitution mit [mm] \wurzel{r*cos(h)+1}=t [/mm] , [mm] 1<=t<=\wurzel{cos(h)+1}, \integral_{0}^{Pi}{\bruch{2\wurzel{2}}{cos(h)^{2}}\integral_{1}^{\wurzel{cosh+1}}{t^{4}-t^{2}dt}dh}=sehr [/mm] hässlich....
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Vielen Dank im Voraus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:15 Mo 29.06.2015 | | Autor: | egon111 |
Aus Perspektive des Koordinatenursprunges gilt(sollte gelten) x=cos(h), y=sin(h) und [mm] \integral_{0}^{pi/2}{\integral_{0}^{2cos(h)}{r*\wurzel{2rcos(h)}dr}dh}
[/mm]
das sollte einfacher gehen...? Ist das äquivalent?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:51 Mo 29.06.2015 | | Autor: | Chris84 |
> Aus Perspektive des Koordinatenursprunges gilt(sollte
> gelten) x=cos(h), y=sin(h) und
> [mm]\integral_{0}^{pi/2}{\integral_{0}^{2cos(h)}{r*\wurzel{2rcos(h)}dr}dh}[/mm]
>
> das sollte einfacher gehen...? Ist das äquivalent?
Kommt zumindest das gleiche raus ;) :)
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:31 Mo 29.06.2015 | | Autor: | Chris84 |
> Integriere mit Hilfe von Polarkoordinaten
> [mm]\integral_{0}^{2}{\integral_{0}^{\wurzel{2x-x^{2}}}{\wurzel{x^{2}+y^{2} }dy}dx}[/mm]
>
> Es wird über die Halbkreisfläche mit x=1+r*cos(h),
> y=r*sin(h) ; 0<=r<=1 und 0<=h<=Pi
Das ist nicht sofort einsichtig. Hab's geplottet. Stimmt. Sollte man aber vlt. noch das ein oder andere Wort zu schreiben ;)
> [mm]integriert.\integral_{0}^{pi}{ \integral_{0}^{1}{r*\wurzel{2}*\wurzel{r*cos(h)+1}dr}dh},[/mm]
> wobei [mm]2*x=x^{2}+y^{2}[/mm] ist und r ist die
> Funktionaldeterminate für den Koordinatenwechsel. Ist das
> richtig? Falls ja, gibt es eine bessere Parametrisierung?
Sieht gut aus. Wuerde ich auch so machen. (Wenngleich die Parametrisiering nicht mainstream ist, aber wer will das schon ^^ )
> Und wenn nicht, wie integriert man das?
>
> Hier, falls alles richtig war ,stecke ich fest Substitution
> mit [mm]\wurzel{r*cos(h)+1}=t[/mm] , [mm]1<=t<=\wurzel{cos(h)+1}, \integral_{0}^{Pi}{\bruch{2\wurzel{2}}{cos(h)^{2}}\integral_{1}^{\wurzel{cosh+1}}{t^{4}-t^{2}dt}dh}=sehr[/mm]
Beim Rueberschauen sieht das auch ok aus. So haesslich wird das nicht.
Bedenke, dass $ -1/3 [mm] t^3+1/5t^5=t\cdot(-1/3 t^2+ [/mm] 1/5 [mm] t^4) [/mm] ist. Wenn man nun die Wurzel einsetzt, wird der Ausdruck in der Klammer doch recht harmlos.
Habe das $r$ Integral mal in Mathematica reingekloppt. Es ist (zur Kontrolle):
[mm] $\int\limits_{r=0}^1 r\sqrt{r\cos(h)+1}dr=\frac{4+\sqrt{1+\cos(h)}(-1+2\cos(h)+3\cos(2h))}{15\cos^2(h)}
[/mm]
Sieht mir ziemlich danach aus, als ob du kurz davor waerst :)
> hässlich....
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
> Vielen Dank im Voraus
Gruss,
Chris
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 06:56 Di 30.06.2015 | | Autor: | egon111 |
Danke Chris für deine Antwort. [mm] $\int\limits_{r=0}^1 r\sqrt{r\cos(h)+1}dr=\frac{4+\sqrt{1+\cos(h)}(-1+2\cos(h)+3\cos(2h))}{15\cos^2(h)} [/mm] Ok, aber ab hier wird es aufwändig.Mit Substitution [mm] \wurzel{1+cos(h)} [/mm] kann man alles auflösen. Aber dann muss man alles in Partialbrüche zerlegen.....
Bei dem zweiten Ansatz wurde es einfacher und [mm] \bruch{32}{15} [/mm] kam raus.
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