Integration mit Polynom^(-1) < Integration < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Berechnen Sie folgendes Integral:
[mm] \integral_{}^{}{\bruch {1}{x^2+3x-10} dx} [/mm] |
Wie geht man denn an sowas ran, bzw. damit um, dass das ganze im Nenner steht?
Mit Substitution/part. Integration kommt man ja hier nicht weiter, oder?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:49 Sa 06.02.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo congo
du willst Lehrer werden, kannst du dann etwas mehr auf die üblichen Höflichkeitsformen achten, die du auch von deinen Schülern erwartest?
Das übliche Vorgehen ist Partialbruchzerlegung
schreib dein Polynom als
p(x)=(x-x1)*(x-x2)
Dann [mm] \bruch{1}{p(x)}=\bruch{A}{x-x1}+\bruch{B}{x-x2}
[/mm]
und finde A,B durch Koeffizientenvergleich.
Danach siehst du die Stammfkt.
Gruss leduart
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Entschuldigung, wenn das unfreundlich rübergekommen ist, das war nicht meine Absicht.
Danke für deine Antwort. Ich hab Partialbruchzerlegung gemacht und bin dann nun mit Koeffizientenvergleich auf folgendes Integral gekommen:
[mm] \integral_{}^{}{\bruch {1}{7(x-2)}-\bruch {1}{7(x+5)} dx}
[/mm]
[mm] \Leftrightarrow \integral_{}^{}{\bruch {1}{7(x-2)}dx} [/mm] - [mm] \integral_{}^{}{\bruch {1}{7(x+5)}dx}
[/mm]
Aber nun stellt sich mir wieder die Frage, wie ich diese Integrale lösen kann
Ich bin für jeden Hinweis dankbar.
Gruß
congo
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Hallo,
denke hier einfach mal an den Logarithmus...
Gruß Patrick
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Ah ok, super danke.
Also dann habe ich substituiert mit
y:=7(x-2) und y':=7(x+5).
[mm] \Rightarrow \integral_{}^{}{\bruch{1}{7y} dx}-\integral_{}^{}{\bruch {1}{7y'}dx}
[/mm]
= [mm] [\bruch{1}{7}log(7x-14)]-[ \bruch{1}{7}log(7x+35)]
[/mm]
= [mm] \bruch{1}{7}log(\bruch{x-2}{x+5})
[/mm]
Ist das richtig? Weil integrals.wolfram.com spuckt mir aus: [mm] \bruch{-2}{7}tanh^{-1}(\bruch{2x}{7}+\bruch{3}{7})
[/mm]
Gruß
congo
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:41 Sa 06.02.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
Dein Ergebnis ist richtig, wie du selbst leicht mit differenzieren zeigen kannst! irgendwie kann man [mm] tanh^{-1} [/mm] in ln umrechnen, ich weiss nicht, warum Wolfram den so bevorzugt.
du brauchst noch im ln Beträge, weil das Integral auch für Werte definiert ist, wo der Bruch negativ ist.
Gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:19 Sa 06.02.2010 | | Autor: | felixf |
Hallo leduart,
> Dein Ergebnis ist richtig, wie du selbst leicht mit
> differenzieren zeigen kannst! irgendwie kann man [mm]tanh^{-1}[/mm]
> in ln umrechnen, ich weiss nicht, warum Wolfram den so
> bevorzugt.
eventuell damit das Ergebnis einfacher wird, da die rationale Funktion im Logarithmus durch eine lineare Funktion im [mm] $\tanh^{-1}$ [/mm] ersetzt wird.
Umrechnen kann man per ![[]](/images/popup.gif) Wikipedia durch [mm] $\tanh^{-1}(x) [/mm] = [mm] \frac{1}{2} \ln \frac{1 + x}{1 - x}$ [/mm] (fuer $|x| < 1$).
LG Felix
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