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Integration mit Substitution: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 00:26 Fr 12.02.2010
Autor: oli_k

Aufgabe
Integriere [mm] \integral_{-2}^{-1}{\bruch{\wurzel{x^2-1}}{x^3} dx} [/mm]

Hallo,

falls neben einer Wurzel vom Typ [mm] \wurzel{x^2-1} [/mm] sonst nur ungerade x-Exponenten vorkommen, sollen wir stets die Wurzel substituieren (anderenfalls über Winkelfunktionen).

Also: [mm] t=\wurzel{x^2-1} [/mm]

Führt zu:
[mm] \integral_{\wurzel{3}}^{0}{\bruch{t^2}{(t^2+1)^2} dt} [/mm]

Und nun? Vermutlich wird da irgendwas mit arctan rauskommen, aber mich stören das t im Zähler und vor allem das Quadrat noch...

Kann mir da einer einen Ansatz nennen?

Danke!


Edit:
Idee:
Zerlegen in 1/(t²+1)-1/(t²+1)². Das liefert mir links ein bekanntes Integral, rechts immerhin eine 1 im Zähler. Für rechts wird mir dann wohl oder übel nur Partialbruchzerlegung übrig bleiben, oder kann man da auch schon was sehen?

        
Bezug
Integration mit Substitution: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 01:03 Fr 12.02.2010
Autor: gfm

x=sinh t müßte auf was in der Form f'g(f), oder?




Bezug
                
Bezug
Integration mit Substitution: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 01:17 Fr 12.02.2010
Autor: oli_k

Nene, ich sagte doch ohne Winkelfunktionen ;)

Das geht bei ungeraden Potenzen auch so! Bin ja auch fast fertig, wundere mich nur, ob ich im letzten Schritt (siehe "Edit") noch was einfacher machen kann.

Bezug
        
Bezug
Integration mit Substitution: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 07:17 Fr 12.02.2010
Autor: rainerS

Hallo!

> Integriere [mm]\integral_{-2}^{-1}{\bruch{\wurzel{x^2-1}}{x^3} dx}[/mm]
>  
> Hallo,
>  
> falls neben einer Wurzel vom Typ [mm]\wurzel{x^2-1}[/mm] sonst nur
> ungerade x-Exponenten vorkommen, sollen wir stets die
> Wurzel substituieren (anderenfalls über
> Winkelfunktionen).
>  
> Also: [mm]t=\wurzel{x^2-1}[/mm]
>  
> Führt zu:
>  [mm]\integral_{\wurzel{3}}^{0}{\bruch{t^2}{(t^2+1)^2} dt}[/mm]
>  
> Und nun? Vermutlich wird da irgendwas mit arctan
> rauskommen, aber mich stören das t im Zähler und vor
> allem das Quadrat noch...
>
> Kann mir da einer einen Ansatz nennen?

Ich würde schreiben

[mm] \bruch{t^2}{(t^2+1)^2} = t* \bruch{t}{(t^2+1)^2} [/mm]

und dann partiell integrieren.

>  
> Danke!
>  
> Edit:
>  Idee:
>  Zerlegen in 1/(t²+1)-1/(t²+1)². Das liefert mir links
> ein bekanntes Integral, rechts immerhin eine 1 im Zähler.
> Für rechts wird mir dann wohl oder übel nur
> Partialbruchzerlegung übrig bleiben, oder kann man da auch
> schon was sehen?

Wie willst du denn beim zweiten Term eine Partialbruchzerlegung machen? Deine Summe ist schon die Partialbruchzerlegung des Integranden.

Viele Grüße
   Rainer



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