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| Aufgabe | Integriere:
[mm] \integral_{0}^{1}{\bruch{2}{1+4x^2}dx} [/mm] |
Hallo,
ich verzweifle gerade an dieser Aufgabe!
Ich wollte diese Aufgabe mit Hilfe der Substitution lösen (partielle Integration hat nicht geklappt).
So habe ich angefangen:
Substitution:
(1+4x²) = z
Nun muss ich ja auch das dx "umschreiben":
[mm] \bruch{dz}{dx}= [/mm] Ableitung von (1+4x²) = 8x
Nur jetzt ist dx = [mm] \bruch{dz}{8x}
[/mm]
Und wenn ich das in mein Integral einsetze, dann habe ich:
[mm] \integral_{1}^{5}{\bruch{2}{z*8x} dz} [/mm]
Doch jetzt komme ich nicht mehr weiter, denn ich habe 2 Variablen!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Schon mal vielen Dank im Voraus.
lg
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Hallo,
> Integriere:
> [mm]\integral_{0}^{1}{\bruch{2}{1+4x^2}dx}[/mm]
> Hallo,
> ich verzweifle gerade an dieser Aufgabe!
> Ich wollte diese Aufgabe mit Hilfe der Substitution lösen
> (partielle Integration hat nicht geklappt).
> So habe ich angefangen:
> Substitution:
> (1+4x²) = z
> Nun muss ich ja auch das dx "umschreiben":
> [mm]\bruch{dz}{dx}=[/mm] Ableitung von (1+4x²) = 8x
> Nur jetzt ist dx = [mm]\bruch{dz}{8x}[/mm]
> Und wenn ich das in mein Integral einsetze, dann habe
> ich:
> [mm]\integral_{1}^{5}{\bruch{2}{z*8x} dz}[/mm]
> Doch jetzt komme ich nicht mehr weiter, denn ich habe 2
> Variablen!
Ja, und es wird auch mit anderen Substitutionen, die darauf abzielen, eine rationale Stammfunktion zu erhalten, nicht funktionieren, denn es ist
[mm]\integral{\bruch{1}{a^2+x^2} dx}=\bruch{1}{a}*arctan\left(\bruch{x}{a}\right)[/mm]
Du musst also schon eine Substitution durchführen, um den Integranden vollends auf die gewünschte Form zu bringen. Tipp: es reicht eine proportionale Substitution, also hier konkret
y=2x
vollkommen aus.
Gruß, Diophant
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> Ja, und es wird auch mit anderen Substitutionen, die darauf
> abzielen, eine rationale Stammfunktion zu erhalten, nicht
> funktionieren, denn es ist
>
> [mm]\integral{\bruch{1}{a^2+x^2} dx}=\bruch{1}{a}*arctan\left(\bruch{x}{a}\right)[/mm]
wenn ich diese "formel" auf meine Aufgabe anwende, würde also dastehen:
[mm] \integral{\bruch{2}{1^2+(2x)^2} dx}=\bruch{2}{1}*arctan\left(\bruch{2x}{1}\right) [/mm]
aber was ist mit den grenzen?
>
> Du musst also schon eine Substitution durchführen, um den
> Integranden vollends auf die gewünschte Form zu bringen.
> Tipp: es reicht eine proportionale Substitution, also hier
> konkret
>
> y=2x
>
> vollkommen aus.
>
>
> Gruß, Diophant
ich verstehe nicht was du damit meinst!?
was ist die "gewünschte form" und was ist bei dir y?
ich habe versucht deinen Ratschlag umzusetzen, kannst du überprüfen, ob das so gemeint war?:
[mm] \integral_{0}^{1}{ \bruch{2}{1+4x^2}dx} [/mm]
und dann Substitution: [mm] z=\bruch{1}{1+4x^2}
[/mm]
nur dann klappt es bei mir auch wieder nicht, denn:
[mm] \bruch{dz}{dx}= \bruch{-8x}{(1+4x^2)^2}= \bruch{-8x}{z^2}
[/mm]
und jetzt habe ich das gleiche problem wie vorhin!
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Hallo,
> ich verstehe nicht was du damit meinst!?
> was ist die "gewünschte form" und was ist bei dir y?
Die gewünschte Form ist eben der Integrand
[mm] \bruch{1}{a^2+x^2}
[/mm]
> ich habe versucht deinen Ratschlag umzusetzen, kannst du
> überprüfen, ob das so gemeint war?:
> [mm]\integral_{0}^{1}{ \bruch{2}{1+4x^2}dx}[/mm]
> und dann Substitution: [mm]z=\bruch{1}{1+4x^2}[/mm]
Diese Substitution ist nicht zielführend, und das habe ich dir doch schon geschrieben weshalb.
> nur dann klappt es bei mir auch wieder nicht, denn:
> [mm]\bruch{dz}{dx}= \bruch{-8x}{(1+4x^2)^2}= \bruch{-8x}{z^2}[/mm]
>
> und jetzt habe ich das gleiche problem wie vorhin!
Machen wir es mal mit einem anderen Buchstaben (y war von mir ungeschickt gewählt). Substituiere
z=2x
und ersetze sowohl x als auch das Differential dx durch die entsprechenden neuen Größen.
Gruß, Diophant
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| Aufgabe | | [mm]\integral_{0}^{1}{ \bruch{2}{1+4x^2}dx}[/mm] |
> Machen wir es mal mit einem anderen Buchstaben (y war von
> mir ungeschickt gewählt). Substituiere
>
> z=2x
>
> und ersetze sowohl x als auch das Differential dx durch die
> entsprechenden neuen Größen.
>
>
> Gruß, Diophant
erst mal danke für deine Mühe!
Habe ich das jetzt richtig gemacht?
[mm]\integral_{0}^{1}{ \bruch{2}{1+4x^2}dx}[/mm]
Substitution: z= 2x [mm] \Rightarrow [/mm] x=0,5z
[mm] \bruch{dz}{dx}=2 \Rightarrow [/mm] dx= 0,5dz
vereinfachen... [mm] \Rightarrow \integral_{0}^{1}{\bruch{1}{1+z^2}dz} [/mm] = [mm] \bruch{1}{1}*arctan (\bruch{z}{1})= [/mm] arctan(z)
Rücksubstitution: arctan(2x)
Aber was ist denn jetzt mit den Grenzen, weil als Ergebnis muss ja eine reelle Zahl rauskommen?!
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Hallo,
> Habe ich das jetzt richtig gemacht?
> [mm]\integral_{0}^{1}{ \bruch{2}{1+4x^2}dx}[/mm]
> Substitution: z= 2x [mm]\Rightarrow[/mm] x=0,5z
> [mm]\bruch{dz}{dx}=2 \Rightarrow[/mm] dx=
> 0,5dz
Bis hierher ist alles richtig! ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> vereinfachen... [mm]\Rightarrow \integral_{0}^{1}{\bruch{1}{1+z^2}dz}[/mm]
> = [mm]\bruch{1}{1}*arctan (\bruch{z}{1})=[/mm] arctan(z)
Aber hier ist dir
- der Faktor [mm] \bruch{1}{2} [/mm] verloren gegangen.
EDIT: nein, das ist natürlich nicht passiert: ich hatte die 2 aus dem Zähler nicht mehr auf der Rechnung, sorry! 
- wenn du ein bestimmtes Integral substituierst, dann müssen unbedingt auch die Schranken mitsubstituiert werden, d.h. dann läuft das Integral für z von 0 bis [mm] \bruch{1}{2}. [/mm] Dann kannst du auch auf die Rücksubstitution verzichten, da du das Integral direkt ausrechnen kannst.
Man kann aber auch zunächst unbestimmt integrieren, um eine Stammfunktion zu erhalten, und dann zurücksubstituieren, um das bestimmte Integral zu berechnen.
Welche Vorgehensweise man wählt, ist Geschmacksache, oft wird die erste bevorzugt.
> Rücksubstitution: arctan(2x)
> Aber was ist denn jetzt mit den Grenzen, weil als Ergebnis
> muss ja eine reelle Zahl rauskommen?!
Weshalb sollte es das nicht tun? Die Arkustangensfunktion hat den Definitionsbereich [mm] \IR, [/mm] du musst nur das oben gesagte über die Substitution der Schranken beachten!
Gruß, Diophant
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> > [mm]\integral_{0}^{1}{ \bruch{2}{1+4x^2}dx}[/mm]
> > Substitution: z= 2x [mm]\Rightarrow[/mm] x=0,5z
> > [mm]\bruch{dz}{dx}=2 \Rightarrow[/mm] dx= 0,5 dz
vereinfachen... [mm]\Rightarrow \integral_{0}^{0,5}{\bruch{1}{1+z^2}dz}[/mm]
= [mm]\bruch{1}{1}*arctan (\bruch{z}{1})|
= [/mm] arctan(z)|
Wenn ich Grenzen einsetze:
arctan(0,5) - arctan(0) = arctan(0,5) = 0,46 (wenn ich im Bogenmaß rechne)
Vielen Dank an alle, die mir geholfen haben!!!!
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Hallo,
> > > [mm]\integral_{0}^{1}{ \bruch{2}{1+4x^2}dx}[/mm]
> > > Substitution: z= 2x [mm]\Rightarrow[/mm] x=0,5z
> > > [mm]\bruch{dz}{dx}=2 \Rightarrow[/mm] dx= 0,5 dz
>
>
> vereinfachen... [mm]\Rightarrow \integral_{0}^{0,5}{\bruch{1}{1+z^2}dz}[/mm]
> = [mm]\bruch{1}{1}*arctan (\bruch{z}{1})| =[/mm] arctan(z)|
> Wenn ich Grenzen einsetze:
> arctan(0,5) - arctan(0) = arctan(0,5) = 0,46 (wenn ich im
> Bogenmaß rechne)
Stimmt, und im Bogenmaß musst du rechnen, sobald du ableitest oder integrierst. Die entsprechenden Regeln gelten nur für das Bogenmaß.
Außerdem (wenn man das Ergebnis exakt darstellen möchte), könnte man mit arctan(0)=0 noch
[mm] arctan\left(\bruch{1}{2}\right)
[/mm]
an Stelle einer Dezimalzahl (die nur einen Näherungswert darstellt) schreiben.
Gruß, Diophant
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:16 Sa 08.12.2012 | | Autor: | Helbig |
Hallo cypernrose,
> Integriere:
> [mm]\integral_{0}^{1}{\bruch{2}{1+4x^2}dx}[/mm]
> Hallo,
> ich verzweifle gerade an dieser Aufgabe!
> Ich wollte diese Aufgabe mit Hilfe der Substitution lösen
> (partielle Integration hat nicht geklappt).
> So habe ich angefangen:
> Substitution:
> (1+4x²) = z
> Nun muss ich ja auch das dx "umschreiben":
> [mm]\bruch{dz}{dx}=[/mm] Ableitung von (1+4x²) = 8x
Deine Substitution ist ungültig, da $z'(0) = 0$ ist. Voraussetzung der Substitutionsregel ist [mm] $\frac [/mm] {dz} {dx} [mm] \ne [/mm] 0$ für alle $x$ aus dem Integrationsintervall.
> Nur jetzt ist dx = [mm]\bruch{dz}{8x}[/mm]
> Und wenn ich das in mein Integral einsetze, dann habe
> ich:
> [mm]\integral_{1}^{5}{\bruch{2}{z*8x} dz}[/mm]
> Doch jetzt komme ich nicht mehr weiter, denn ich habe 2
> Variablen!
Ja, das ist ärgerlich. Du mußt in solchen Fällen $z=1+4 [mm] x^2$ [/mm] nach $x$ auflösen und $x$ durch [mm] $\sqrt [/mm] {z-1} /2$ substituieren. Aber das wäre nur sinnvoll, wenn [mm] $z\ne [/mm] 1$ bzw. [mm] $x\ne [/mm] 0$ in den jeweiligen Integrationsbereichen wäre, da Du sonst durch 0 dividierst.
Grüße,
Wolfgang
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:05 Sa 08.12.2012 | | Autor: | Gonozal_IX |
Hiho,
> Deine Substitution ist ungültig, da [mm]z'(0) = 0[/mm] ist.
> Voraussetzung der Substitutionsregel ist [mm]\frac {dz} {dx} \ne 0[/mm] für alle [mm]x[/mm] aus dem Integrationsintervall.
wie kommst du darauf?
Diese Voraussetzung hab ich noch nie irgendwo gesehen und ist meiner Meinung nach auch gar nicht notwendig.
Auch der ![[]](/images/popup.gif) Wikipedia-Artikel kennt diese Voraussetzung nicht und verwendet die Substitution [mm] $t=x^2+1$, [/mm] was nach deiner Aussage ja nicht korrekt wäre.
Gruß,
Gono.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:44 Sa 08.12.2012 | | Autor: | Helbig |
Hallo Gono,
>
> > Deine Substitution ist ungültig, da [mm]z'(0) = 0[/mm] ist.
> > Voraussetzung der Substitutionsregel ist [mm]\frac {dz} {dx} \ne 0[/mm]
> für alle [mm]x[/mm] aus dem Integrationsintervall.
>
> wie kommst du darauf?
Na ja, wir haben hier die Substitution [mm] $z=\varphi(x)$ [/mm] bzw. die Rückwärtssubstitution [mm] $x=\varphi^{-1}(z)$ [/mm] und verwenden die Substitutionsregel aus Wikipedia mit der Rückwärtssubstitution:
[mm] $\int_0^1 [/mm] f(x) dx = [mm] \int_{\varphi(0)}^{\varphi(1)}f(\varphi^{-1}(z))*(\varphi^{-1})'(z) dz\,.$
[/mm]
Und hierfür muß [mm] $\varphi^{-1}$ [/mm] differenzierbar sein. Dies ist aber nur der Fall, wenn [mm] $\varphi$ [/mm] differenzierbar ist und die Ableitung nicht verschwindet.
> Diese Voraussetzung hab ich noch nie irgendwo gesehen und
> ist meiner Meinung nach auch gar nicht notwendig.
> Auch der
> Wikipedia-Artikel
> kennt diese Voraussetzung nicht und verwendet die
> Substitution [mm]t=x^2+1[/mm], was nach deiner Aussage ja nicht
> korrekt wäre.
Gegen diese Substitution ist nichts zu sagen, solange man ein Integral der Form
[mm] $\int (f(\varphi (x))*\varphi'(x) [/mm] dx$ bestimmen will. Wir haben es aber hier mit einem Integral der Form [mm] $\int [/mm] f(x) dx$ zu tun, und müssen daher rückwärts substituieren.
Grüße,
Wolfgang
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