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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:30 Mo 11.05.2009 | | Autor: | matt101 |
| Aufgabe | Man führe die folgende Integrale auf das Integral einer rationalen Funktion zurück:
a) [mm] \integral_{}^{}{\bruch{x-4}{\wurzel{x^2-4x+5}} dx}
[/mm]
b) [mm] \integral_{}^{}{\bruch{3-x^2}{\wurzel{2-x^2}} dx}
[/mm]
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Hat jemand nen Tipp wie das machen kann??
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Hallo matt101,
> Man führe die folgende Integrale auf das Integral einer
> rationalen Funktion zurück:
Also wie das gehen soll, ist mir schleierhaft 
Aber ich habe trotzdem eine Idee zu a), die aber über eine (doppelte) Substitution und ohne Rückführung auf eine rationale Funktion geht ...
Vllt. hilft's dir ja trotzdem etwas weiter ...
Nun: meine Idee ist, [mm] $u:=\sqrt{x^2-4x+5}$ [/mm] zu substituieren, dann ist [mm] $\frac{du}{dx}=\frac{x-2}{\sqrt{x^2-4x+5}}$, [/mm] also [mm] $dx=\frac{\sqrt{x^2-4x+5}}{x-2} [/mm] \ du$
Damit: [mm] $\int{\frac{x-4}{\sqrt{x^2-4x+5}} \ dx}=\int{\frac{x-4}{\sqrt{x^2-4x+5}} \ \frac{\sqrt{x^2-4x+5}}{x-2} \ du}=\int{\frac{x-4}{x-2} \ du}=\int{\left(1-\frac{2}{x-2}\right) \ du}$
[/mm]
Nun ist mit [mm] $u:=\sqrt{x^2-4x+5}=\sqrt{(x-2)^2+1}$ [/mm] dann [mm] $u^2-1=(x-2)^2$, [/mm] also [mm] $x-2=\sqrt{u^2-1}$
[/mm]
Damit also [mm] $\int{\left(1-\frac{2}{x-2}\right) \ du}=\int{\left(1-\frac{2}{\sqrt{u^2-1}}\right) \ du}=\int{1 \ du}-2\int{\frac{1}{\sqrt{u^2-1}} \ du}$
[/mm]
Und hier für das hintere Integral noch eine Substitution ....
Denke mal an die hyperbolischen Funktionen und den Zusammenhang [mm] $\cosh^2(z)-\sinh^2(z)=1$ [/mm] ...
>
> a) [mm]\integral_{}^{}{\bruch{x-4}{\wurzel{x^2-4x+5}} dx}[/mm]
>
> b) [mm]\integral_{}^{}{\bruch{3-x^2}{\wurzel{2-x^2}} dx}[/mm]
>
> Hat jemand nen Tipp wie das machen kann??
LG
schachuzipus
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:22 Di 12.05.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
siehe hier ![[]](/images/popup.gif) klick
ausserdem hattet ihr auch ne Methode in der Vorlesung!
Gruss leduart
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