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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:18 Sa 22.12.2007 | | Autor: | Tea |
| Aufgabe | Bestimme die folgenden Integrale
a) [mm] \integral_{\bruch{\pi}{3}}^{\bruch{\pi}{2}} \bruch{cos^3 x}{sin^4 x} [/mm] dx
b) [mm] \integral_0^1 [/mm] x*arctan(x) dx
c) [mm] \integral_{-\bruch{45}{46}}^{\bruch{45}{46}} [/mm] x*cos(x) dx |
Guten Tag!
Bei diesen drei Integralen weiß ich echt nicht weiter...
Kann ich direkt sagen, dass das Integral in c) =0 ist weil sich die Fläche links und rechts der y-Achse aufhebt?
Danke für Hinweise, wie ich die drei Aufgaben am besten angehe :)
Viele Grüße
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:36 Sa 22.12.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo Tea!
Führe die Substitution $z \ := \ [mm] \left[\sin(x)\right]^4$ [/mm] durch.
Gruß
Loddar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:04 Sa 22.12.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo Tea!
Hm! ![[kopfkratz3]](/images/smileys/kopfkratz3.gif "[kopfkratz3]") Ich glaube, mein o.g. Ansatz führt nicht so direkt zum Ziel.
Gehen wir anders vor:
[mm] $$\bruch{\cos^3(x)}{\sin^4(x)} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{\blue{\cos^2(x)}*\cos(x)}{\sin^4(x)} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{\left[\blue{1-\sin^2(x)}\right]*\cos(x)}{\sin^4(x)}$$
[/mm]
Und nun $z \ := \ [mm] \sin(x)$ [/mm] substituieren ...
Gruß
Loddar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:57 Sa 29.12.2007 | | Autor: | Tea |
Stimmt, dein zweiter Ansatz führt dafür umso mehr zum Erfolg.
Über
[mm] \integral_{\bruch{\pi}{3}}^{\bruch{\pi}{2}} \bruch {cos^3 x}{sin^4 x} [/mm] dx = [mm] \integral_{\bruch{\pi}{3}}^{\bruch{\pi}{2}} \bruch {[1-sin^2 x]cos x}{sin^4 x} [/mm] und u = sin x erhalte ich [mm] \integral_{\bruch{\pi}{3}}^{\bruch{\pi}{2}} \bruch{1- u^2}{u^4} [/mm] du
also nach Integration und Substitution
[mm] [\bruch{1}{3*sin^3 x}]_{\bruch{\pi}{3}}^{\bruch{\pi}{2}}-[-\bruch{1}{sin x}]_{\bruch{\pi}{3}}^{\bruch{\pi}{2}}.
[/mm]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:37 Sa 22.12.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo Tea!
Hier geht es mit partieller Integration. Wähle $u' \ = \ x$ sowie $v \ = \ [mm] \arctan(x)$ [/mm] .
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:02 Sa 29.12.2007 | | Autor: | Tea |
Danke für den Hinweis :)
Kommt bei b)
[mm] $arctan[1]-\bruch{1}{2}$ [/mm] raus?
Viele Grüße
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:41 Sa 29.12.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo Tea!
> Kommt bei b) [mm]arctan[1]-\bruch{1}{2}[/mm] raus?
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") Nun kannst Du noch [mm] $\arctan(1) [/mm] \ = \ [mm] \bruch{\pi}{4}$ [/mm] einsetzen.
Gruß
Loddar
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:38 Sa 22.12.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo Tea!
Ja, Du hast Recht: für das bestimmte Integral kann man so vorgehen. Wenn man aber die Stammfunktion bestimmen will: auch hier partielle Integration mit $v \ = \ x$ sowie $u' \ = \ [mm] \cos(x)$ [/mm] .
Gruß
Loddar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:41 Sa 22.12.2007 | | Autor: | Tea |
Hallo Loddar!
Danke für deine Hinweise. Du rechnest ja schneller als ich lesen kann. ;)
Werde dann gleich mal mein Glück versuchen
Bis dann
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:00 Sa 29.12.2007 | | Autor: | Tea |
Auch bei der Stammfunktion hebt sich nach einsetzen alles raus, es ergibt sich 0.
[$x sin x + cos [mm] x$]_{a}^{-a}=0,
[/mm]
weil sin und cox symmetrisch sind. ?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:11 Sa 29.12.2007 | | Autor: | Tea |
Abend!
Ich habe jetzt schon ein paar Integrale mit Substitution berechnet.
Wann genau ändern sich die Grenzen? Mir ist gerade aufgefallen, dass ich das nie gemacht habe, obwohl ich es doch eigentlich hätte machen müssen.
Weiß einer von euch was ich meine... ;)
und kann mir erklären wieso es bei meinen Aufgaben geklappt hat?
Wann ändere ich denn bei Integration die Grenzen?
Viele Grüße
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Wenn du zum Schluss rücksubstituierst, kannst du die alten Grenzen verwenden. Ansonsten musst du in dem Moment die Grenzen ändern, wo du bei der Substitution die Integrationsvariable änderst. Hast du z.B. ein Integral mit dx und die Grenzen von 0 bis [mm] \pi [/mm] und lautet die Substitution t=cos(x), so musst du nun für die Grenzen t=cos(0)=1 und [mm] t=cos(\pi)=-1 [/mm] einsetzen (also Untergrenze 1 und Obergrenze -1, passend zu 0 und [mm] \pi), [/mm] und zwar dann, wenn du von dx auf dt im Integral übergehst. Dies ist bei weiteren Substitutionen (Verschachtelung) weiterzuführen.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:46 Sa 29.12.2007 | | Autor: | zahllos |
Integral:
a) muss ich nochmal nachdenken, meine erste Vermutung taugt nichts
b) partielle Integration und zwar so, dass die Ableitung des arctan
vorkommt
c) Der Integrand ist punktsymmetrisch, das Integrationsintervall symmetrisch zum Ursprung, also hast Du mit Deiner Vermutung recht!
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