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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:35 Di 03.07.2012 | | Autor: | MixUpper |
| Aufgabe | a) Skizzieren Sie die vier Kurven
y =1/(2x) , y=2/x , y= x/2 , y = 2x
b) Es sei G das von den vier Kurven aus a) begrenzte Gebiet, das im ersten Quadranten liegt
(also x, y > 0).
Berechnen Sie [mm] \integral_{G}{y^2 d(x,y)}
[/mm]
indem Sie durch u = xy und v =y/x
neue Koordinaten einführen. |
a) kein problem (Funktionsplotter, fertig)
b) hier weiß ich leider nicht, wie ich an die aufgabe herangehen soll, [mm] y^2 [/mm] könnte man ja umschreiben als [mm] y^2=xy*y/x=uv
[/mm]
aber was tue ich mit dem d(x,y) bzw. mit den funktionen und wie berücksichtige ich dann dabei das (neue) gebiet?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo MixUpper,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> a) Skizzieren Sie die vier Kurven
> y =1/(2x) , y=2/x , y= x/2 , y = 2x
> b) Es sei G das von den vier Kurven aus a) begrenzte
> Gebiet, das im ersten Quadranten liegt
> (also x, y > 0).
> Berechnen Sie [mm]\integral_{G}{y^2 d(x,y)}[/mm]
> indem Sie durch u
> = xy und v =y/x
> neue Koordinaten einführen.
> a) kein problem (Funktionsplotter, fertig)
> b) hier weiß ich leider nicht, wie ich an die aufgabe
> herangehen soll, [mm]y^2[/mm] könnte man ja umschreiben als
> [mm]y^2=xy*y/x=uv[/mm]
> aber was tue ich mit dem d(x,y) bzw. mit den funktionen
> und wie berücksichtige ich dann dabei das (neue) gebiet?
>
Nun, wenn Du eine Parametertransformation
[mm]x=x\left(u,v\right), \ y=y\left(u,v\right)[/mm]
hast, dann ist
[mm]d\left(x,y\right)=\ dx \ dy = \vmat{\begin{matrix}\bruch{\partial x}{\partial u} & \bruch{\partial x}{\partial v} \\ \bruch{\partial y}{\partial u} & \bruch{\partial y}{\partial v} \end{matrix}} \ du \ dv[/mm]
>
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt. #
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:21 Di 03.07.2012 | | Autor: | MixUpper |
> Hallo MixUpper,
>
>
danke :)
>
> > a) Skizzieren Sie die vier Kurven
> > y =1/(2x) , y=2/x , y= x/2 , y = 2x
> > b) Es sei G das von den vier Kurven aus a) begrenzte
> > Gebiet, das im ersten Quadranten liegt
> > (also x, y > 0).
> > Berechnen Sie [mm] \integral_{G}{y^2 d(x,y)}
[/mm]
> > indem Sie
> durch u
> > = xy und v =y/x
> > neue Koordinaten einführen.
> > a) kein problem (Funktionsplotter, fertig)
> > b) hier weiß ich leider nicht, wie ich an die aufgabe
> > herangehen soll, [mm] y^2 [/mm] könnte man ja umschreiben als
> > [mm] y^2=xy*y/x=uv
[/mm]
> > aber was tue ich mit dem d(x,y) bzw. mit den funktionen
> > und wie berücksichtige ich dann dabei das (neue) gebiet?
> >
>
> Nun, wenn Du eine Parametertransformation
>
> [mm]x=x\left(u,v\right), \ y=y\left(u,v\right)[/mm]
>
> hast, dann ist
>
> [mm]d\left(x,y\right)=\ dx \ dy = \vmat{\begin{matrix}\bruch{\partial x}{\partial u} & \bruch{\partial x}{\partial v} \\ \bruch{\partial y}{\partial u} & \bruch{\partial y}{\partial v} \end{matrix}} \ du \ dv[/mm]
>
irgendwie krieg ich das mit der umparametrisierung trotzdem nicht hin ...
ich hab ja u=xy und v=y/x gegeben, muss ich dann diese nach x bzw, y ableiten und dann da einsetzen?
und wie bring ich dann das ganze in einklang mit dem vorgegebenen durch die kurven begrenzten gebiet?
Gruß MixUpper
> >
> > Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> > Internetseiten gestellt. #
>
>
> Gruss
> MathePower
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Hallo MixUpper,
> > Hallo MixUpper,
> >
> >
> danke :)
> >
> > > a) Skizzieren Sie die vier Kurven
> > > y =1/(2x) , y=2/x , y= x/2 , y = 2x
> > > b) Es sei G das von den vier Kurven aus a) begrenzte
> > > Gebiet, das im ersten Quadranten liegt
> > > (also x, y > 0).
> > > Berechnen Sie [mm]\integral_{G}{y^2 d(x,y)}[/mm]
> > > indem
> Sie
> > durch u
> > > = xy und v =y/x
> > > neue Koordinaten einführen.
> > > a) kein problem (Funktionsplotter, fertig)
> > > b) hier weiß ich leider nicht, wie ich an die
> aufgabe
> > > herangehen soll, [mm]y^2[/mm] könnte man ja umschreiben als
> > > [mm]y^2=xy*y/x=uv[/mm]
> > > aber was tue ich mit dem d(x,y) bzw. mit den
> funktionen
> > > und wie berücksichtige ich dann dabei das (neue) gebiet?
> > >
> >
> > Nun, wenn Du eine Parametertransformation
> >
> > [mm]x=x\left(u,v\right), \ y=y\left(u,v\right)[/mm]
> >
> > hast, dann ist
> >
> > [mm]d\left(x,y\right)=\ dx \ dy = \vmat{\begin{matrix}\bruch{\partial x}{\partial u} & \bruch{\partial x}{\partial v} \\ \bruch{\partial y}{\partial u} & \bruch{\partial y}{\partial v} \end{matrix}} \ du \ dv[/mm]
>
> >
>
> irgendwie krieg ich das mit der umparametrisierung trotzdem
> nicht hin ...
> ich hab ja u=xy und v=y/x gegeben, muss ich dann diese
> nach x bzw, y ableiten und dann da einsetzen?
> und wie bring ich dann das ganze in einklang mit dem
> vorgegebenen durch die kurven begrenzten gebiet?
>
Nun, Du kannst, wie beschreiben x und y in Abhängigkeit von u und v setzen.
Die beiden Gleichungen jeweils partiell nach u und v ableiten
und daraus die benötigten partiellen Ableitungen bestimmen.
> Gruß MixUpper
> > >
> > > Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
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> >
> > Gruss
> > MathePower
>
Gruss
MathePower
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