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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:42 Do 06.02.2014 | | Autor: | OneTwo7 |
| Aufgabe | Gegeben seien die Mengen:
Z = {(x,y,z) [mm] \in R^3 [/mm] : [mm] x^2 [/mm] + [mm] y^2 \le [/mm] 4, 0 [mm] \le [/mm] z [mm] \le [/mm] 3 },
K = {(x,y,z) [mm] \in R^3 [/mm] : [mm] \wurzel{x^2 + y^2} \le [/mm] 8 - 2z, z [mm] \in [/mm] [3,4]}
sowie das Vektorfeld
[mm] \vec{w} [/mm] (x,y,z) = [mm] \vektor{xyz \\ x^2 y \\ xyz}
[/mm]
(i) Skizzieren sie die Mengen Z und K
(ii) Berechnen sie [mm] \integral_{}^{}{\integral_{\partial Z}^{}{\vec{w} \cdot \vec{dO}}} [/mm] sowie [mm] \integral_{}^{}{\integral_{\partial K}^{}{\vec{w} \cdot \vec{dO}}} [/mm] und zeichnen sie die entsprechenden Oberflächenelemente in die Skizze ein.
(iii) bestimmen sie den Wert des Flussintegrals [mm] \integral_{}^{}{\integral_{\partial (Z \cup \K) }^{}{\vec{w} \cdot \vec{dO}}} [/mm] |
Skizzen habe ich natürlich fertig, zu (ii), (iii) fällt mir nur ein das mit Gauß zu einem dreifachintegral zu machen, Integrationsgrenzen kriege ich aber nicht hin. Zu (iii): wie beschreibt man denn dann das Gebilde? Parametrisierung für grundfläche + Mantelfläche + Kegel aufm Kopf? Dann 3-mal separat integrieren?
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Hallo,
> Gegeben seien die Mengen:
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> Z = {(x,y,z) [mm] \in R^3 [/mm] : [mm] x^2 [/mm] + [mm] y^2 \le [/mm] 4, 0 [mm] \le [/mm] z [mm] \le [/mm] 3 },
> K = {(x,y,z) [mm] \in R^3 [/mm] : [mm] \wurzel{x^2 + y^2} \le [/mm] 8 - 2z, z
> [mm] \in [/mm] [3,4]}
>
> sowie das Vektorfeld
>
> [mm] \vec{w} [/mm] (x,y,z) = [mm] \vektor{xyz \\ x^2 y \\ xyz}
[/mm]
>
> (i) Skizzieren sie die Mengen Z und K
> (ii) Berechnen sie [mm]\integral_{}^{}{\integral_{\partial Z}^{}{\vec{w} \cdot \vec{dO}}}[/mm]
> sowie [mm]\integral_{}^{}{\integral_{\partial K}^{}{\vec{w} \cdot \vec{dO}}}[/mm]
> und zeichnen sie die entsprechenden Oberflächenelemente in
> die Skizze ein.
>
> (iii) bestimmen sie den Wert des Flussintegrals
> [mm]\integral_{}^{}{\integral_{\partial (Z \cup K) }^{}{\vec{w} \cdot \vec{dO}}}[/mm]
>
> Skizzen habe ich natürlich fertig, zu (ii), (iii) fällt
> mir nur ein das mit Gauß zu einem dreifachintegral zu
> machen,
Geht, aber man kann es auch direkt ausrechnen. Hier ist es aber tatsächlich günstiger, Gauß zu benutzen, da dann nur eine Integration durchgeführt werden muss.
> Integrationsgrenzen kriege ich aber nicht hin.
Wieso? Gehe jeweils zu Zylinderkoordinaten über.
Bei $Z$: $r [mm] \in [/mm] [0,2]$, [mm] $\phi \in [0,2\pi]$, [/mm] z [mm] \in [/mm] [0,3]
Bei $K$: $r [mm] \in [/mm] [-(8-2z),(8-2z)], [mm] $\phi \in [0,2\pi]$, [/mm] z [mm] \in [/mm] [3,4].
(Hier hängt also das Integral über $r$ vom Integral über $z$ ab, es muss also dann bei der Integration die Reihenfolge [mm] $\int \int [/mm] dr dz$ sein.
> Zu
> (iii): wie beschreibt man denn dann das Gebilde?
> Parametrisierung für grundfläche + Mantelfläche + Kegel
> aufm Kopf? Dann 3-mal separat integrieren?
Ja, für jede einzelne Teilfläche muss separat integriert (und dann die Ergebnisse aufaddiert) werden.
Viele Grüße,
Stefan
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:12 Fr 07.02.2014 | | Autor: | OneTwo7 |
Komme nun auf einen etwas unschön aussehenden Term: http://www.wolframalpha.com/input/?i=div%28r%5E2+sin%28x%29+cos%28x%29+h%2Cr%5E3+cos%28x%29+sin%28x%29%2C+r%5E2+sin%28x%29+cos%28x%29+h%29
dabei handelt es sich um [mm] div(\vec{w} (f_1(r,\phi,h))
[/mm]
wobei [mm] f_1 [/mm] die Parametrisierung des Zylinders ist
[mm] f_1 [/mm] = [mm] \vektor{r cos(\phi) \\ r sin(\phi) \\ h }
[/mm]
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Hallo,
> Komme nun auf einen etwas unschön aussehenden Term:
> http://www.wolframalpha.com/input/?i=div%28r%5E2+sin%28x%29+cos%28x%29+h%2Cr%5E3+cos%28x%29+sin%28x%29%2C+r%5E2+sin%28x%29+cos%28x%29+h%29
Das kann ich nicht nachvollziehen. Es muss doch ERST die Divergenz bestimmt werden und dann die Parametrisierung eingesetzt werden.
Also hier:
[mm] $\nabla \cdot [/mm] w = yz + [mm] x^2 [/mm] + xy$
Jetzt einsetzen deiner Parametrisierung:
> [mm]f_1[/mm] = [mm]\vektor{r cos(\phi) \\ r sin(\phi) \\ h }[/mm]
Also:
[mm] $(\nabla \cdot w)(f_1(r,\phi,h)) [/mm] = [mm] r\sin(\phi) [/mm] h + [mm] r^2 \cos^2(\phi) [/mm] + [mm] r^2 \sin(\phi)\cos(\phi)$
[/mm]
Das muss nun integriert werden - nicht schön, aber es geht.
Viele Grüße,
Stefan
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:53 Fr 07.02.2014 | | Autor: | OneTwo7 |
| Aufgabe | Sei K [mm] \subset \IR^3, \vec{v} [/mm] : [mm] \IR^3 \to \IR^3 [/mm] ein stetig. diff'bares Vektorfeld.
Gilt (div [mm] \vec{v}(\vec{x}) [/mm] < 0 für alle [mm] \vec{x} \in \IR^3 [/mm] \ K und (div [mm] \vec{v})(\vec{x}) \ge [/mm] 0 für alle [mm] \vec{x} \in [/mm] K so ist [mm] \integral_{}^{}{\integral_{\partial K}^{}{\vec{v} \vec{dO} }} \ge [/mm] 0
Dies gilt zu widerlegen oder zu bestätigen. |
Ja...macht Sinn.
Bezüglich dem einzeichnen der Oberflächenelemente? Muss ich da irgendwie aufpassen? Das waren doch die Vektoren die aus der Fläche herauszeigen, oder?
Dann kurz Offtopic, weil ich keine extra Frage öffnen will (siehe Aufgabenstellung dieser Frage):
Ich kann beim besten willen aber nicht begreifen ob das jetzt nun stimm oder nicht...Tipp vll.?
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Hallo,
> Sei K [mm]\subset \IR^3, \vec{v}[/mm] : [mm]\IR^3 \to \IR^3[/mm] ein stetig.
> diff'bares Vektorfeld.
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> Gilt (div [mm]\vec{v}(\vec{x})[/mm] < 0 für alle [mm]\vec{x} \in \IR^3[/mm]
> \ K und (div [mm]\vec{v})(\vec{x}) \ge[/mm] 0 für alle [mm]\vec{x} \in[/mm]
> K so ist [mm]\integral_{}^{}{\integral_{\partial K}^{}{\vec{v} \vec{dO} }} \ge[/mm]
> 0
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> Dies gilt zu widerlegen oder zu bestätigen.
> Bezüglich dem einzeichnen der Oberflächenelemente? Muss
> ich da irgendwie aufpassen? Das waren doch die Vektoren die
> aus der Fläche herauszeigen, oder?
Ja.
Es ist der Normalenvektor auf der Fläche. Der zeigt üblicherweise immer nach "außen", wobei das entsprechend der Wölbung der Fläche zu verstehen ist. Bei einer Kugel z.B. zeigt er nach "außen".
> Dann kurz Offtopic, weil ich keine extra Frage öffnen will
> (siehe Aufgabenstellung dieser Frage):
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> Ich kann beim besten willen aber nicht begreifen ob das
> jetzt nun stimm oder nicht...Tipp vll.?
Naja, es sieht so aus, als sollte man den Satz von Gauß verwenden. Dann stände es ja schon fast da.
Allerdings könnte das eine Falle sein, denn an das $K$ sind keine Voraussetzungen gestellt (das muss also anscheinend nicht mal regulär parametrisierbar sein). Das ist ein Hinweis darauf, dass es nicht geht. Oder hast du da Voraussetzungen unterschlagen?
Du müsstest dir also eine Menge $K$ überlegen (welche die Voraussetzungen des Satzes von Gauß nicht erfüllt), mit der es nicht funktioniert.
Viele Grüße,
Stefan
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