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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:05 So 18.01.2009 | | Autor: | unicode |
| Aufgabe | | ∫(x²+x+1)/(x²-2x+1)dx |
Ich glaube, dass ich das mit Partialbruchzerlegung integrieren muss, ich komme aber letztendlich auf A=1-B und das ergibt keine vernünftige Lösung für B. Was mache ich falsch??
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo unicode,
eine PBZ brauchst du nicht, eher eine geschickte Umformung 
Es ist [mm] $\frac{x^2+x+1}{x^2-2x+1}=\frac{x^2\red{-3x+3x}+x+1}{x^2-2x+1}=\frac{x^2-2x+1+3x}{x^2-2x+1}=1+\frac{3x}{x^2-2x+1}$
[/mm]
[mm] $=1+\frac{3}{2}\cdot{}\frac{2x}{x^2-2x+1}=1+\frac{3}{2}\cdot{}\frac{2x\red{-2+2}}{x^2-2x+1}=1+\frac{3}{2}\cdot{}\left[\frac{2x-2}{x^2-2x+1}+\frac{2}{x^2-2x+1}\right]$
[/mm]
[mm] $=1+\frac{3}{2}\cdot{}\frac{2x-2}{x^2-2x+1}+3\cdot{}\frac{1}{(x-1)^2}$
[/mm]
Also hast du [mm] $\int{\frac{x^2+x+1}{x^2-2x+1} \ dx}=\int{1 \ dx}+\frac{3}{2}\cdot{}\int{\frac{2x-2}{x^2-2x+1} \ dx}+3\cdot{}\int{\frac{1}{(x-1)^2} \ dx}$
[/mm]
Für das mittlere Integral substituiere den Nenner, der Rest ist einfach ...
LG
schachuzipus
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