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Hallo zusammen,
ich habe mir mal wieder mein Mathezeug in den Kopf gerufen und versuche momentan das Volumen einer Kugel ueber ein Integral herzuleiten.
Ich habe die Kugel so definiert, dass der Mittelpunkt im Ursprung liegt. Somit muss ich nur ein Achtel des Kugelvolumens berechnen.
Ich dachte mir, dass ich dazu die Kugeloberflaeche, bzw die Hoehe der Kugel als z=f(x,y) beschreibe.
Das waere dann:
[mm]z=r * \cos (\bruch{2\wurzel{x^2 + y^2}}{r \pi})
[/mm]
wobei
[mm]x^2+y^2\le r^2[/mm]
also waere das Integral:
[mm] \integral_{0}^{r}\integral_{0}^{r} r * \cos (\bruch{2\wurzel{x^2 + y^2}}{r \pi} \, dx \, dy[/mm]
Allerdings komme ich hire nichtmehr weiter.
Ich bekomme es nicht hin, die Stammfunktion von dem cosinus zu bilden.
Gibt es da irgendeinen Trick?
Der ist ja schon recht kompliziert.
Oder ist mein Rechenweg falsch?
Liebe Gruesse
Mattes
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:48 Mo 23.01.2012 | | Autor: | notinX |
Hallo,
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> Hallo zusammen,
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> ich habe mir mal wieder mein Mathezeug in den Kopf gerufen
> und versuche momentan das Volumen einer Kugel ueber ein
> Integral herzuleiten.
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> Ich habe die Kugel so definiert, dass der Mittelpunkt im
> Ursprung liegt. Somit muss ich nur ein Achtel des
> Kugelvolumens berechnen.
wieso gerade ein Achtel? Du könntest auch ein n-tel der Kugel berechnen und es mit n multiplizieren. Ich wüsste aber nicht, was das bringen soll.
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> Ich dachte mir, dass ich dazu die Kugeloberflaeche, bzw die
> Hoehe der Kugel als z=f(x,y) beschreibe.
>
> Das waere dann:
> [mm]z=r * \cos (\bruch{2\wurzel{x^2 + y^2}}{r \pi})
[/mm]
Keine Ahnung, wie Du darauf kommst und es scheint auch nicht richtig zu sein. Ich habe das mal geplottet und da kommt keine Kugel raus. Außerdem müsste ja am Rand der Kugel, also wenn [mm] $\wurzel{x^2 + y^2}=r$ [/mm] ist $z=0$ sein - ist aber nicht so.
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> also waere das Integral:
> [mm]\integral_{0}^{r}\integral_{0}^{r} r * \cos (\bruch{2\wurzel{x^2 + y^2}}{r \pi} \, dx \, dy[/mm]
>
> Allerdings komme ich hire nichtmehr weiter.
>
> Ich bekomme es nicht hin, die Stammfunktion von dem cosinus
> zu bilden.
>
> Gibt es da irgendeinen Trick?
> Der ist ja schon recht kompliziert.
>
> Oder ist mein Rechenweg falsch?
Die Geometrie der Kugel legt die Verwendung von Kugelkoordinaten nahe, damit ist's auch gar nicht schwer.
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> Liebe Gruesse
> Mattes
>
Gruß,
notinX
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Ja du hast recht.
Ich weiss auch nicht, wie ich auf die Formel mit dem cos gekommen bin.
Da muesste uebrigens pi/2 und nciht 2/pi drinstehen.
Aber selbst so macht das keinen Sinn...
Kugelkoordinaten hin oder her, das muesste ja auch ohne die Kugelkoordinaten gehen.
Und wenn ich mich recht erinnere muss ich nur die Flaeche einer Kugelscheibe beschreiben.
D.h. im Abstand x hat die Kugelscheibe den Radius s, wobei
[mm]s=\wurzel{r^2-x^2} [/mm]
d.h.
[mm] A = \pi*s^2 = \pi*(r^2-x^2)[/mm]
Und das muss ich einfach nur von -r bis r integrieren.
Und dann komme ich auch auf die 4/3 pi [mm] r^3.
[/mm]
Danke und liebe Gruesse
Mattes
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:58 Di 24.01.2012 | | Autor: | notinX |
Hallo,
> Ja du hast recht.
>
> Ich weiss auch nicht, wie ich auf die Formel mit dem cos
> gekommen bin.
> Da muesste uebrigens pi/2 und nciht 2/pi drinstehen.
> Aber selbst so macht das keinen Sinn...
>
> Kugelkoordinaten hin oder her, das muesste ja auch ohne die
> Kugelkoordinaten gehen.
das funktioniert in allen Koordinaten, nur finde ich es in Kugelkoordinaten am einfachsten.
>
> Und wenn ich mich recht erinnere muss ich nur die Flaeche
> einer Kugelscheibe beschreiben.
>
> D.h. im Abstand x hat die Kugelscheibe den Radius s, wobei
> [mm]s=\wurzel{r^2-x^2}[/mm]
> d.h.
> [mm]A = \pi*s^2 = \pi*(r^2-x^2)[/mm]
>
> Und das muss ich einfach nur von -r bis r integrieren.
>
> Und dann komme ich auch auf die 4/3 pi [mm]r^3.[/mm]
Es kommt tatsächlich das richtige Ergebnis raus. Ich habe lange darüber nachgedacht und bin mir nicht sicher, ob das nicht vielleicht nur Zufall ist.
Denn mit der Formel berechnest Du ja die Kreisscheibenfläche und nicht die Fläche des Kugeloberflächensegments.
Vielleicht kennt sich ja ein anderer Forenteilnehmer besser damit aus...
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> Danke und liebe Gruesse
> Mattes
>
>
Gruß,
notinX
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:31 Di 24.01.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
er will ja nicht die Kugeloberfläche, sondern das Volumen ausrechnen. das kann man, indem man Kreischeiben der Dicke dx und Radius [mm] s^2=r^2-x^2 [/mm] aufeinanderstapelt.
gruss leduart
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:17 Di 24.01.2012 | | Autor: | notinX |
Hi,
> Hallo
> er will ja nicht die Kugeloberfläche, sondern das Volumen
> ausrechnen. das kann man, indem man Kreischeiben der Dicke
stimmt  Ich hatte irgendwie die Oberfläche im Kopf...
> dx und Radius [mm]s^2=r^2-x^2[/mm] aufeinanderstapelt.
> gruss leduart
Gruß,
notinX
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:14 Di 24.01.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
Deine Rechnung ist richtig, wenn man vorrausetzen kann, was die Fläche eines Kreises ist. wenn man die nicht kennt sind Kugelkooerdinaten oder Zylinderkoordinaten einfacher, bzw um die Kreisfläche auszurechnen Polarkoordinaten.
gruss leduart
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