Integration von Partialbrüche < Integrationstheorie < Maß/Integrat-Theorie < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:25 Fr 16.01.2009 | | Autor: | Lyrone |
| Aufgabe 1 | Berechnen Sie mit den Integrationsmethoden:
das unbestimmte Integral:
[mm]\integral{\frac{5x^2+10x+8}{(x^2-2x)\cdot{}(x^2+4)} dx}, \ \ x \not= 0,\ x \not= 2[/mm] |
| Aufgabe 2 | das bestimmte Integral:
[mm]\integral_{-1}^{0}{(x+2)^5\cdot{}\sin\left((x+2)^3)\right)} dx}[/mm] |
Hallo,
ich übe gerade "Integration der Partialbrüche" aber ich scheiter schon an den Partialbrüchen selber.
Ich weiss nicht wie ich am besten mit dem Vermerk [mm]x \not= 0,\ x \not= 2[/mm] umgehen soll. Entweder wird die Aufgabe dadurch leichter, oder schwerer. Ich tippe auf ersteres, aber bei mir verursacht es eher Schwierigkeiten.
Ich gehe davon aus, dass der Nenner komplexe Nullstellen hat, aufgrund von [mm](x^2+4)[/mm]. Ich habe alle Nullstellen herausgesucht und dadurch hatte ich nachher folgende Partialbruchzerlegung:
[mm]\frac{5x^2+10x+8}{x\cdot{}(x-2)\cdot{}(x^2+4)}=\frac{A_{1}}{x}+\frac{A_{2}}{x-2}+\frac{Bx+C}{x^2+4}[/mm]
Auf Hauptnenner gebracht und mit diesem dann Multipliziert:
[mm]5x^2+10x+8=A_{1}(x-2)\cdot{}(x^2+4)+A_{2}\cdot{}x\cdot{}(x^2+4)+(Bx+C)\cdot{}x\cdot{}(x-2)[/mm]
Und jetzt? Würde ich nach meinem Lernbuch gehen, sagt mir dieses, dass ich die Nullstellen, also 0, 2 und [mm]\pm2i[/mm] der Reihe nach einfügen soll. Aber ich glaube das ist falsch, da ja [mm]x \not= 0[/mm] und [mm] x \not= 2[/mm] ist. Mir also nur [mm]\pm2i[/mm] übrig bleibt. Aus lauter Verzweiflung habe ich es trotzdem gemacht und habe folgendes bekommen:
[mm]x=0 \ \ \ \ \ 8=A_{1}\cdot{}(-2)\cdot{}4 \ \ \ \ \Rightarrow A_{1}=-1[/mm]
[mm]x=2 \ \ \ \ \ 48=A_{2}\cdot{}2\cdot{}8 \ \ \ \ \Rightarrow A_{2}=3[/mm]
[mm]x=1 \ \ \ \ \ 3=-B-C[/mm]
[mm]x=3 \ \ \ \ \ -\frac{65}{21}=9B+C\ \ \ \ \Rightarrow B=-\frac{1}{84} \ \ C=-\frac{1}{253}[/mm]
Ich glaub da irgendwie nicht dran, kann mir jemand bitte nen Tip geben wie ich in die richtige Richtung maschiere?
Die 2te Aufgabe hat eigentlich nicht viel mit der ersten zu tun, trotzdem schreibe ich sie hier hin, mit der Bitte, das jemand mal drüber schaut, nicht das ich einen grundlegenden Fehler mache und diesen regelmäßig durch andere Aufgaben ziehe:
[mm]\integral_{-1}^{0}{(x+2)^5\cdot{}\sin\left((x+2)^3)\right)} dx}=\integral_{-1}^{0}{(x+2)^2\cdot{}u\cdot{}\sin\left(u\right)} \frac{du}{3\cdot{}(x+2)^2} = \frac{1}{3}\integral_{1}^{0}{u\cdot{}\sin\left(u) du}[/mm]
[mm]= \frac{1}{3}\left[u\cdot{}\left(-\cos(u)\right)\right]_{1}^{0}-\integral_{1}^{0}{-\cos(u) du}=\frac{1}{3}\left[u\cdot{}\left(-\cos(u)\right)+sin(u)\right]_{1}^{0}[/mm]
[mm]= \frac{1}{3}\left(0+0-\left(-cos(1)+sin(1)\right)\right)=-0,1[/mm]
Sagt mir mal bitte für mein Ego das diese richtig gelöst ist.
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> Berechnen Sie mit den Integrationsmethoden:
> das bestimmte Integral:
>
> [mm]\integral_{-1}^{0}{(x+2)^5\cdot{}\sin\left((x+2)^3)\right)} dx}[/mm]
> [mm]\integral_{-1}^{0}{(x+2)^5\cdot{}\sin\left((x+2)^3)\right)} dx}=\red{\integral_{-1}^{0}}{(x+2)^2\cdot{}u\cdot{}\sin(u)} \frac{du}{3\cdot{}(x+2)^2} = \frac{1}{3}\red{\integral_{1}^{0}}{u\cdot{}\sin\left(u) du}[/mm]
offenbar hast du [mm] (x+2)^3=u [/mm] gesetzt
(schreib das doch auch hin)
die Grenzen müssten auch mit transformiert werden
die neuen Grenzen (für u) wären 1 und 8
> [mm]= \frac{1}{3}\left[u\cdot{}\left(-\cos(u)\right)\right]_{1}^{0}-\integral_{1}^{0}{-\cos(u) du}=\frac{1}{3}\left[u\cdot{}\left(-\cos(u)\right)+sin(u)\right]_{1}^{0}[/mm]
die Stammfunktion stimmt ![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]") , die Obergrenze sollte 8 sein
> [mm]= \frac{1}{3}\left(0+0-\left(-cos(1)+sin(1)\right)\right)=-0,1[/mm]
richtig: [mm] \approx [/mm] 0.617
ich hoffe, dass dies dein Ego nicht allzusehr ankratzt 
LG
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:38 Di 20.01.2009 | | Autor: | Lyrone |
Ich habe es gerade noch so verkraftet :).
Danke Al-Chwarizmi das du so flott geantwortet hast. Meine Antwort liess leider auf sich warten, aber ich war die letzten Tage bisschen demotiviert.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:43 Fr 16.01.2009 | | Autor: | Teufel |
Hi!
Zur 1. Funktion: [mm] A_1 [/mm] und [mm] A_2 [/mm] stimmen, nur die anderen 2 Parameter solltest du noch einmal neu berechnen.
![[anon]](/images/smileys/anon.png "[anon]") Teufel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:46 Di 20.01.2009 | | Autor: | Lyrone |
Hi Teufel,
danke für den Hinweis, auch bei dir möchte ich mich entschuldigen das die Antwort so spät kommt.
Habe nun andere Ergebnisse rausbekommen:
[mm]\frac{5x^2+10x+8}{x\cdot{}(x-2)\cdot{}(x^2+4)}=\frac{A_{1}}{x}+\frac{A_{2}}{x-2}+\frac{Bx+C}{x^2+4}[/mm]
[mm]\ \Rightarrow A_{1}=-1[/mm]
[mm]\ \Rightarrow A_{2}=3[/mm]
[mm]\ \Rightarrow B=-3[/mm]
[mm]\ \Rightarrow C=0[/mm]
Nun kommts integrieren:
[mm]\integral{\frac{5x^2+10x+8}{(x^2-2x)\cdot{}(x^2+4)} dx}=-1\cdot{}\integral{\frac{dx}{x}}+3 \cdot{}\integral{\frac{dx}{x-2} }-3 \cdot{}\integral{\frac{dx}{x^2+4}}=-\ln|x|+3\cdot{}\ln|x-2|-3\cdot{}\ln|x^2+4|[/mm]
Stimmt nun so alles?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:59 Di 20.01.2009 | | Autor: | smarty |
Hallo Lyrone,
![[sorry]](/images/smileys/sorry.gif "[sorry]") ich erhalte ein anderes Ergebnis (eines mit einem arctan).
Ohne Rechnung ist das schwer nachzuvollziehen.
Grüße
Smarty
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:13 Di 20.01.2009 | | Autor: | Lyrone |
Hallo Smarty,
Das war eigentlich meine Rechnung, aber zur Verdeutlichung schreibe ich es besser nochmal komplett hin, wie und was ich mir gedacht habe:
[mm]\integral{\frac{5x^2+10x+8}{(x^2-2x)\cdot{}(x^2+4)} dx}=\integral{\frac{-1}{x}+\frac{3}{x-2}+\frac{-3}{x^2+4} dx}[/mm]
Aber ich habe nun eine neue Version, dank google und deines Tips mit arctan:
[mm]=\integral{\frac{-1}{x} dx}+\integral{\frac{3}{x-2} dx}+\integral{\frac{-3}{x^2+4} dx}=-1\cdot{}\integral{\frac{dx}{x}}+3 \cdot{}\integral{\frac{dx}{x-2} }-3 \cdot{}\integral{\frac{dx}{x^2+2^2}}=-\ln|x|+3\cdot{}\ln|x-2|-3\cdot{}\frac{1}{2}\cdot{}\arctan(\frac{x}{2})[/mm]
Stimmt es nun?
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Hallo Lyrone,
> Hallo Smarty,
>
> Das war eigentlich meine Rechnung, aber zur Verdeutlichung
> schreibe ich es besser nochmal komplett hin, wie und was
> ich mir gedacht habe:
>
> [mm]\integral{\frac{5x^2+10x+8}{(x^2-2x)\cdot{}(x^2+4)} dx}=\integral{\frac{-1}{x}+\frac{3}{x-2}+\frac{-3}{x^2+4} dx}[/mm]
>
Das stimmt nicht ganz:
[mm]\frac{5x^2+10x+8}{(x^2-2x)\cdot{}(x^2+4)}=\frac{-1}{x}+\frac{3}{x-2}+\frac{\red{-3}}{x^2+4} [/mm]
Hier muß stehen:
[mm]\frac{5x^2+10x+8}{(x^2-2x)\cdot{}(x^2+4)}=\frac{-1}{x}+\frac{3}{x-2}+\frac{Cx+D}{x^2+4} [/mm]
,wobei C und D noch zu ermitteln sind.
> Aber ich habe nun eine neue Version, dank google und deines
> Tips mit arctan:
>
> [mm]=\integral{\frac{-1}{x} dx}+\integral{\frac{3}{x-2} dx}+\integral{\frac{-3}{x^2+4} dx}=-1\cdot{}\integral{\frac{dx}{x}}+3 \cdot{}\integral{\frac{dx}{x-2} }-3 \cdot{}\integral{\frac{dx}{x^2+2^2}}=-\ln|x|+3\cdot{}\ln|x-2|-3\cdot{}\frac{1}{2}\cdot{}\arctan(\frac{x}{2})[/mm]
>
> Stimmt es nun?
>
Nicht ganz.
Gruß
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:36 Di 20.01.2009 | | Autor: | Lyrone |
Hallo Loddar,
boar ich kann die Aufgabe bald nicht mehr sehen. Danke das du dir soviel Mühe gibst und das alles nochmal kontrolliert hast. Habe es auch nochmal nachgerechnet und erneut andere Ergebnisse rausbekommen.
Neues Spiel, neues Glück ...
[mm] \integral{\frac{5x^2+10x+8}{(x^2-2x)\cdot{}(x^2+4)} dx}=-1\cdot{}\integral{\frac{dx}{x}}+3 \cdot{}\integral{\frac{dx}{x-2} }-3 \cdot{}\integral{\frac{\frac{1}{2}x+7}{x^2+4} dx}=-\ln|x|+3\cdot{}\ln|x-2|-3\cdot{}\integral{\frac{\frac{1}{2}x+7}{x^2+4} dx}[/mm]
Mit dem letztem Integral bin ich überfordert, ich kann zwar x ausklammert und dann "partielle" Integration anwenden, aber das Problem mit dem Restintegral bleibt.
Wie muss ich hier vorgehen?
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Hallo Lyrone,
> Hallo Loddar,
>
> boar ich kann die Aufgabe bald nicht mehr sehen. Danke das
> du dir soviel Mühe gibst und das alles nochmal kontrolliert
> hast. Habe es auch nochmal nachgerechnet und erneut andere
> Ergebnisse rausbekommen.
>
> Neues Spiel, neues Glück ...
>
> [mm]\integral{\frac{5x^2+10x+8}{(x^2-2x)\cdot{}(x^2+4)} dx}=-1\cdot{}\integral{\frac{dx}{x}}+3 \cdot{}\integral{\frac{dx}{x-2} }-3 \cdot{}\integral{\frac{\frac{1}{2}x+7}{x^2+4} dx}=-\ln|x|+3\cdot{}\ln|x-2|-3\cdot{}\integral{\frac{\frac{1}{2}x+7}{x^2+4} dx}[/mm]
Auch diese Zerlegung stimmt nicht.
[mm]\frac{5x^2+10x+8}{(x^2-2x)\cdot{}(x^2+4)}=\left(-1\right)\frac{1}{x}}+3\frac{1}{x-2} }\red{-3} \cdot{}\frac{\red{\frac{1}{2}}x+\red{7}}{x^2+4}}[/mm]
>
> Mit dem letztem Integral bin ich überfordert, ich kann zwar
> x ausklammert und dann "partielle" Integration anwenden,
> aber das Problem mit dem Restintegral bleibt.
>
> Wie muss ich hier vorgehen?
Zerlege
[mm]\bruch{Cx+D}{x^{2}+4}=\alpha*\bruch{2x}{x^{2}+4}+\bruch{D}{x^{2}+4}[/mm]
Gruß
MathePower
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:05 Di 20.01.2009 | | Autor: | reverend |
Hallo Lyrone,
zur Kontrolle Deiner Rechnung kann ich Dir den ![[]](/images/popup.gif) Wolfram Integrator sehr ans Herz legen. Nimm ihn aber besser nicht zum üben, in der Klausur wirst Du ihn auch nicht dabei haben, noch nicht einmal, um eine Idee oder einen Ansatz zu finden. Ansonsten: sehr praktisch...
Grüße,
reverend
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:14 Di 20.01.2009 | | Autor: | Loddar |
Hallo Lyrone!
Hier mal mein Zwischenergebnis zur Kontrolle:
[mm] $$A_1 [/mm] \ = \ -1$$
[mm] $$A_2 [/mm] \ = \ 3$$
$$B \ = \ -2$$
$$C \ = \ -1$$
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:50 Mi 21.01.2009 | | Autor: | Lyrone |
Danke für die ganzen Antworten, wenn ich den Thread so durschaue, sieht das eher nach einer rate Stunde von meiner Seite aus. Liegt aber auch daran, weil ich zu oberflächlich war und nur dachte das ich mit den integrieren Probleme hätte. Aber diese habe ich wohl schon bei den kleinsten Zwischenschritten. Habe alles von Grundauf neu gerechnet und mache mir jetzt die Arbeit und tippe brav alles einzelnd ab, wie ich jetzt bei so einer Aufgabe nun vorgehe. Vielleicht findet ja jemand Tips Fehlerquellen zu vermeiden oder den Prozess zu vereinfachen:
[mm]\begin{matrix}
\frac{5x^2+10x+8}{(x^2-2x)\cdot{}(x^2+4)}&=& \frac{5x^2+10x+8}{x\cdot{}(x-2)\cdot{}(x^2+4)}
\end{matrix}[/mm]
[mm]\begin{matrix}
\frac{5x^2+10x+8}{x\cdot{}(x-2)\cdot{}(x^2+4)}& =& \frac{A_{1}}{x}+\frac{A_{2}}{x-2}+\frac{Bx+C}{x^2+4} \\
\5x^2+10x+8 & =& A_{1}(x-2)\cdot{}(x^2+4)+A_{2}\cdot{}x\cdot{}(x^2+4)+(Bx+C)\cdot{}(x^2-2x)
\end{matrix}[/mm]
Jetzt paar X Werte eingesetzt, soerst die Nulllstellen:
[mm]\begin{matrix}
x=0 &\Rightarrow& 8 & =& A_1\cdot{}(-2)\cdot{}4 &\Rightarrow& A_1 & =& -1 \\
x=2 &\Rightarrow& 20+20+8 & =& A_2\cdot{}2\cdot{}8 &\Rightarrow& A_2 & =& 3 \\
\end{matrix}[/mm]
Jetzt habe ich [mm] A_1 [/mm] und [mm] A_2 [/mm] eingesetzt
[mm]\begin{matrix}
5x^2+10x+8 & =& -(x-2)\cdot{}(x^2+4)+3x\cdot{}(x^2+4)+(Bx+C)\cdot{}(x^2-2x) \\
5x^2+10x+8 & =& -(x^3+4x-2x^2-8)+3x^3+12x+(Bx+C)\cdot{}(x^2-2x) \\
5x^2+10x+8+x^3+4x-2x^2-8-3x^3-12x & =& (Bx+C)\cdot{}(x^2-2x) \\
\frac{-2x^3+3x^2+2x}{x\cdot{}(x-2)}& =& (Bx+C) \\
\frac{-2x^2+3x+2}{(x-2)}& =& (Bx+C) \\
\end{matrix}[/mm]
Jetzt wieder paar X-Werte eingesetzt
[mm]\begin{matrix}
x=3 &\Rightarrow& -7 & =& 3B+C &\Rightarrow& B & =& -2 \\
x=6 &\Rightarrow& -13 & =& 6B+C &\Rightarrow& C & =& -1 \\
\end{matrix}[/mm]
Also
[mm]\begin{matrix}
\frac{5x^2+10x+8}{(x^2-2x)\cdot{}(x^2+4)}&=& -\frac{1}{x}+\frac{3}{x-2}+\frac{-2x-1}{x^2+4}
\end{matrix}[/mm]
Diesmal habe ich ne Probe gemacht, die sogar stimmt, das habe ich mir jetzt auch mal angewöhnt. Ok weiter ... .
Also lautet mein zerstückeltes Integral nun:
[mm]\integral{\frac{5x^2+10x+8}{(x^2-2x)\cdot{}(x^2+4)} dx}=-\integral{\frac{dx}{x}}+3 \cdot{}\integral{\frac{dx}{x-2} }-\integral{\frac{2x+1}{x^2+4} dx}=-\ln|x|+3\cdot{}\ln|x-2|-\red{\integral{\frac{2x+1}{x^2+4} dx}} [/mm]
Mit dem Integral [mm]\red{\integral{\frac{2x+1}{x^2+4} dx}} [/mm] habe ich weiterhin meine Probleme. In habe in meiner Formelsammlung folgendes gefunden was zu diesem Integral passt:
[mm]\integral{\frac{x dx}{a^2+x^2} dx}=\frac{1}{2}\cdot{}\ln(a^2+x^2)[/mm]
Im Nenner [mm]x^2 + 2^2[/mm] passt ja alles, aber der Zähler stimmt nicht 1:1 überein. Durch den Link von reverend, ist mir bekannt das die Lösung [mm]\frac{1}{2}\cdot{}\tan^{-1}(\frac{x}{2})+\log(x^2+4)[/mm] ist. Aber wie komme ich dadrauf? Muss man das Integral noch weiter "bearbeiten"?
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Hallo Lyrone,
Du kommst der Sache endlich näher.
> [mm]\begin{matrix}
\frac{5x^2+10x+8}{(x^2-2x)\cdot{}(x^2+4)}&=& \frac{5x^2+10x+8}{x\cdot{}(x-2)\cdot{}(x^2+4)}
\end{matrix}[/mm]
>
> [mm]\begin{matrix}
\frac{5x^2+10x+8}{x\cdot{}(x-2)\cdot{}(x^2+4)}& =& \frac{A_{1}}{x}+\frac{A_{2}}{x-2}+\frac{Bx+C}{x^2+4} \\
\red{5}x^2+10x+8 & =& A_{1}(x-2)\cdot{}(x^2+4)+A_{2}\cdot{}x\cdot{}(x^2+4)+(Bx+C)\cdot{}(x^2-2x)
\end{matrix}[/mm]
Vor der roten 5 hattest Du einen \ gesetzt, dadurch war sie nicht sichtbar. Eingegeben hattest Du sie aber, in der Bildschirmdarstellung sah es dann so aus, als hättest Du sie "geschlabbert".
> Jetzt paar X Werte eingesetzt, soerst die Nulllstellen:
Sauber wäre, alles auszumultiplizieren und durch gliedweisen Vergleich der Koeffizienten gleicher Potenzen lineare Gleichungen in A1, A2, B und C zu bestimmen. Dein Weg ist hier kürzer, Dir muss nur klar sein, dass er das (nämlich kürzer) nicht immer ist.
> [...]
> Also
>
> [mm]\begin{matrix}
\frac{5x^2+10x+8}{(x^2-2x)\cdot{}(x^2+4)}&=& -\frac{1}{x}+\frac{3}{x-2}+\frac{-2x-1}{x^2+4}
\end{matrix}[/mm]
>
> Diesmal habe ich ne Probe gemacht, die sogar stimmt, das
> habe ich mir jetzt auch mal angewöhnt. Ok weiter ... .
Sehr gute Idee. 
> Also lautet mein zerstückeltes Integral nun:
>
> [mm]\integral{\frac{5x^2+10x+8}{(x^2-2x)\cdot{}(x^2+4)} dx}=-\integral{\frac{dx}{x}}+3 \cdot{}\integral{\frac{dx}{x-2} }-\integral{\frac{2x+1}{x^2+4} dx}=-\ln|x|+3\cdot{}\ln|x-2|-\red{\integral{\frac{2x+1}{x^2+4} dx}}[/mm]
>
> Mit dem Integral [mm]\red{\integral{\frac{2x+1}{x^2+4} dx}}[/mm]
> habe ich weiterhin meine Probleme. In habe in meiner
> Formelsammlung folgendes gefunden was zu diesem Integral
> passt:
>
> [mm]\integral{\frac{x dx}{a^2+x^2} dx}=\frac{1}{2}\cdot{}\ln(a^2+x^2)[/mm]
>
> Im Nenner [mm]x^2 + 2^2[/mm] passt ja alles, aber der Zähler stimmt
> nicht 1:1 überein. Durch den Link von reverend, ist mir
> bekannt das die Lösung
> [mm]\frac{1}{2}\cdot{}\tan^{-1}(\frac{x}{2})+\log(x^2+4)[/mm] ist.
> Aber wie komme ich dadrauf? Muss man das Integral noch
> weiter "bearbeiten"?
Teil es einfach nochmal auf:
[mm] \red{\integral{\frac{2x+1}{x^2+4} dx}}=\integral{\bruch{2x}{x^2+4}\ dx}+\integral{\bruch{1}{x^2+4}\ dx}
[/mm]
Das erste löst Du leicht durch Substitution [mm] u=x^2+4, [/mm] für das zweite kennst Du ja schon den arctan...
Fertig.
lg,
reverend
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:32 So 25.01.2009 | | Autor: | Lyrone |
Hi reverend
> Teil es einfach nochmal auf:
>
> [mm]\red{\integral{\frac{2x+1}{x^2+4} dx}}=\integral{\bruch{2x}{x^2+4}\ dx}+\integral{\bruch{1}{x^2+4}\ dx}[/mm]
>
> Das erste löst Du leicht durch Substitution [mm]u=x^2+4,[/mm] für
> das zweite kennst Du ja schon den arctan...
Danke für den Hinweis, voll simpel, trotzdem nicht gesehen.
Stimmt die Lösung nun endlich so?
[mm]
\integral{\frac{5x^2+10x+8}{(x^2-2x)\cdot{}(x^2+4)} dx}=-\integral{\frac{dx}{x}}+3 \cdot{}\integral{\frac{dx}{x-2} }-\integral{\frac{2x+1}{x^2+4} dx}=-\ln|x|+3\cdot{}\ln|x-2|-\integral{\frac{2x}{x^2+4} dx}-\integral{\frac{dx}{x^2+4}}=-\ln|x|+3\cdot{}\ln|x-2|-\ln(x^2+4)-\frac{1}{2}\cdot{}\arctan(\frac{x}{2})+C[/mm]
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 11:53 So 25.01.2009 | | Autor: | Loddar |
Hallo Lyrone!
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Gruß
Loddar
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![[grins]](/images/smileys/grins.gif "[grins]"){kind=small}
