Integration von cos(x)/sin(x) < Integralrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Integrieren Sie:
[mm] \bruch{sin^{3}(x)}{cos^{4}(x)} [/mm] |
Hallo,
kann man dieses nicht hier irgendwie vereinfachen bzw. sin(x)/cos(x) ist doch tan(x)
Wie kann ich das in diesem Fall umschreiben bzw. löst man so diese Aufgabe
Andere Möglichkeit wäre doch Substitution oder
Danke
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:10 Di 05.05.2009 | | Autor: | Loddar |
Hallo Liverpool!
Setze im Zähler ein:
[mm] $$\sin^2(x) [/mm] \ = \ [mm] 1-\cos^2(x)$$
[/mm]
Anschließend den Bruch zerlegen und integrieren (z.B. mittels Substitution).
Gruß
Loddar
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Danke ging ja schnell
also hab ich da stehen
[mm] \sin(x) \* \bruch{(1-\cos^2(x) )}{cos^{4}(x)}
[/mm]
??
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| Status: |
(Antwort) fehlerhaft  | | Datum: | 20:34 Di 05.05.2009 | | Autor: | Lars64 |
Also mein Vorschlag wäre:
Ableitung von cos(x) ist -sin(X) => Ableitung von [mm] Cos(X)^4 [/mm] = -4 [mm] sin(x)^3
[/mm]
Und wenn im Zähler die Ableitung des Nenners steht, bietet sich der Ansatz über ln. D.h. mein Lösungsvorschlag wäre F(x) = a ln [mm] cos^4(x).
[/mm]
Den Parameter a solltest du selber bestimmen. Hoffe Dir geholfen zu haben.
MfG
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| Status: |
(Korrektur) fundamentaler Fehler  | | Datum: | 20:36 Di 05.05.2009 | | Autor: | Loddar |
Hallo Lars!
> Ableitung von [mm]Cos(X)^4[/mm] = -4 [mm]sin(x)^3[/mm]
Das stimmt leider überhaupt nicht. Du musst hier doch mittels  Kettenregel ableiten.
Gruß
Loddar
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| Status: |
(Korrektur) kleiner Fehler  | | Datum: | 20:44 Di 05.05.2009 | | Autor: | Lars64 |
Loddar hat recht. Mein Fehler. Sorry. Hab mich da verrant.
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(Korrektur) fundamentaler Fehler | | Datum: | 20:46 Di 05.05.2009 | | Autor: | Loddar |
Hallo Lars!
Nein, es gilt:
[mm] $$\left[ \ \cos^4(x) \ \right]' [/mm] \ = \ [mm] 4*\cos^3(x)*[-\sin(x)] [/mm] \ = \ [mm] -4*\sin(x)*\cos^3(x)$$
[/mm]
Gruß
Loddar
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(Korrektur) richtig (detailiert geprüft)  | | Datum: | 20:56 Di 05.05.2009 | | Autor: | Lars64 |
Sorry. Hab mich da verrant. Mein Fehler. Hab an Sin(x)/Cos(x) gedacht. Da gehts. Danke und schönen abend noch.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 20:41 Di 05.05.2009 | | Autor: | Loddar |
Hallo Liverpool!
Nun den Bruch zerlegen (wie bereits oben angedeutet):
[mm] $$\sin(x) [/mm] * [mm] \bruch{1-\cos^2(x) }{\cos^{4}(x)} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{\sin(x)-\sin(x)*\cos^2(x) }{\cos^{4}(x)} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{\sin(x)}{\cos^{4}(x)}-\bruch{\sin(x)*\cos^2(x) }{\cos^{4}(x)} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{\sin(x)}{\cos^{4}(x)}-\bruch{\sin(x)}{\cos^{2}(x)}$$
[/mm]
Nun kannst Du beide Brüche separat über die Substitution $u \ := \ [mm] \cos(x)$ [/mm] integrieren.
Gruß
Loddar
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ich probiers mal:
also hab ich dann für den ersten Bruch:
[mm] \integral_{}^{}{\bruch{sin(x)}{u^{4}} dx} [/mm] = [mm] \bruch{sin(x)}{u^{4}} \*-sin(x)
[/mm]
und dann nur noch für u = cos(x) einsetzen ??
Ka das mit dem Sub. bekomm ich nicht wirklich hin
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du hast u(x)=cos(x) substituiert
dann leitest du dies ab:
[mm] \bruch{du}{dx}=-sin(x)
[/mm]
[mm] \gdw [/mm] -du=sin(x)dx
und das dann alles eingesetzt ergibt
[mm] -\int\bruch{1}{u^4}du=-\int u^{-4}du
[/mm]
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merci,
Also kommt für den ersten Bruch [mm] \bruch{1}{cos^{3}(x)} [/mm] raus
Für den zweiten Bruch:
[mm] \integral_{}^{}{-\bruch{sin(x)}{cos^{2}(x)} dx} [/mm] = [mm] -\bruch{1}{2}\*\bruch{1}{cos^{2}(x)}
[/mm]
??
Dann einfach beide Ergebnisse zusammenführen und Integralkonstande hintendran machen
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> merci,
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> Also kommt für den ersten Bruch [mm]\bruch{1}{cos^{3}(x)}[/mm]
> raus
[mm] \int u^{-4}du =\bruch{-1}{3}u^{-3}=\bruch{-1}{3*u^3}=\bruch{-1}{3*cos^3(x)}
[/mm]
>
> Für den zweiten Bruch:
> [mm]\integral_{}^{}{-\bruch{sin(x)}{cos^{2}(x)} dx}[/mm] =
> [mm]-\bruch{1}{2}\*\bruch{1}{cos^{2}(x)}[/mm]
>
> ??
>
> Dann einfach beide Ergebnisse zusammenführen und
> Integralkonstande hintendran machen
[mm] \integral_{}^{}{-\bruch{sin(x)}{cos^{2}(x)} dx}
[/mm]
wird mit u=cos(x) [mm] \gdw [/mm] du=-sin(x)dx zu
[mm] \int\bruch{1}{u^2}du=\int u^{-2} [/mm] ...
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Hallo,
mit partieller Integration geht's auch.
LG, Martinius
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