Integration von gebrochener Fk < Integration < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:43 Mo 21.02.2005 | | Autor: | Umbra |
Hallo alle miteinander.
Ich bereite mich gerade auf eine Klausur vor und bin über folgendes Integral in einer alten Klausur gestolpter, wo ich partu nicht weiß, wie ich das lösen soll.
[mm] \integral_{}^{} [/mm] { [mm] \bruch{ x^{4}+3 x^{4}+9 x^{2}+8x+4}{ x^{3}+3 x^{2}+6x+4} [/mm] dx}
Ich habe schon versucht das ganze zu teilen, da steht dort:
[mm] \integral_{}^{} [/mm] {1 dx} - [mm] \integral_{}^{} [/mm] { [mm] \bruch{x^{3}+2x}{ x^{3}+3 x^{2}+6x+4}dx}
[/mm]
Was ja nun schon einfacher aussieht, aber für mich immer noch nicht lösbar.
Hat irgendwer eine Idee?
Ein Lösungsansatz würde mir ja schon reichen.
Gruß
Umbra
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:09 Mo 21.02.2005 | | Autor: | andreas |
hi
ich nehem mal an, dass dir ein tippfehler unterlaufen ist und es nicht
> [mm]\integral_{}^{}\bruch{ x^{4}+3 x^{4}+9 x^{2}+8x+4}{ x^{3}+3 x^{2}+6x+4} dx [/mm], sondern
[mm]\integral_{}^{}\bruch{ x^{4}+3 x^{\red{3}}+9 x^{2}+8x+4}{ x^{3}+3 x^{2}+6x+4} dx [/mm]
heißen müsste?
dann ist polynom division auf jeden fall schon mal die richtige idee, du solltest dann aber ein $x$ und nicht eine $1$ als ganzrationalen anteil erhlaten, da dies die differenz der höchsten potenz im zähler und der höchsten potenz im nenner ($4 - 3 =1$) ist!
mit dem verbleibenden ausdruck musst du nun noch partialbruchzerlegung durchführen.
vielleicht kommst du damit schon weiter?
grüße
andreas
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:54 Mo 21.02.2005 | | Autor: | Umbra |
Ja, sorry du hast recht. Da hatte sich ein paar Fehler eingeschlichen.
Ich habe das Integral nun umgeformt und bekomme:
[mm] \integral_{}^{} [/mm] {x dx} + [mm] \integral_{}^{} [/mm] { [mm] \bruch{3x^{2}+4x+4}{(x+1)*(x^{2}+2x+4)} [/mm] dx}
Mein Ansatz ist jetzt:
[mm] \bruch{3x^{2}+4x+4}{(x+1)*(x^{2}+2x+4)} [/mm] = [mm] \bruch{A}{(x+1)} [/mm] + [mm] \bruch{B}{x^{2}+2x+4} [/mm]
werde mal ne runde weiterechnen, aber das hat mir schon geholfen, man braucht ja oft nur den Denkanstoss in die richtige Richtung.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:06 Mo 21.02.2005 | | Autor: | andreas |
hi
mir ist nicht ganz klar, wie du auf den nennerterm kommst. in deinem ursprünglichen post war der nenner ja [mm] $x^3 [/mm] + [mm] 3x^2 [/mm] + 6x + 4$ und das ist ungleich [mm] $(x+1)^3 [/mm] = [mm] x^3 [/mm] + [mm] 3x^2 [/mm] + 3x + 1$. am besten hälst du dich an den tipp von paulus und zerlegst den nenner zu [mm] $x^3 [/mm] + [mm] 3x^2 [/mm] + 6x + 4 = [mm] (x+1)(x^2 [/mm] + 2x + 4)$ (die erste nullstelle $x=-1$ "erraten" und danach polynomdivision). dann wäre ein adäquater ansatz für die partialbruchzerlegung (da die quadratische gleichung keine reellen nullstellen besitzt):
[m] \frac{3x^2 + 4x + 4}{(x+1)(x^2 + 2x + 4)} = \frac{A}{x+1} + \frac{Bx + C}{x^2 + 2x + 4} [/m]
ich hoffe das ist jetzt klar?
grüße
andreas
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:10 Mo 21.02.2005 | | Autor: | Umbra |
Jo, hatte mich da verrechnet, weil ich statt der 4 eine 1 geschrieben hatte.
Dadurch ging das dann mit dem (x+1)³ auf.
Habe es auch schon korrigiert, aber bevor ich Paulus seine Antwort gelesen hatte *g*.
Und da hast wohl geschrieben bevor du meine Korrektur gesehn hast.
Aber wie ich sehe war mein Ansatz schon wieder Falsch, mit der Partialbruchzelegung. Sollte auf dem Gebiet wohl noch was tun.
Werde mal mit deinem Ansatz weiter machen.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:58 Mo 21.02.2005 | | Autor: | Umbra |
Ok, mittels Partialburchzerlegung sieht mein Integral nun so aus:
[mm] \integral_{}^{} [/mm] {f(x) dx}= [mm] \integral_{}^{} [/mm] {x dx}+ [mm] \integral_{}^{} [/mm] { [mm] \bruch{1}{x+1} [/mm] dx} + [mm] \integral_{a}^{b} [/mm] { [mm] \bruch{2x}{x^{2}+2x+4} [/mm] dx}
Das sieht schon recht gut aus, aber ich weiß immer noch nicht wie ich:
[mm] \integral_{a}^{b} [/mm] { [mm] \bruch{2x}{x^{2}+2x+4} [/mm] dx}
das lösen soll?
Eine Idee wäre jetzt partielle Integration, wobei ich
dort immer noch das Integral von
[mm] \integral_{a}^{b} [/mm] { [mm] \bruch{1}{x^{2}+2x+4} [/mm] dx} lösen muss und dass kan ich nicht.
WIe geht das?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:22 Mo 21.02.2005 | | Autor: | Loddar |
Hallo Umbra!
Zunächst mal ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") !!
[mm] $\integral_{}^{} {\bruch{1}{x^2 + 2x + 4} dx}$
[/mm]
$= \ [mm] \integral_{}^{} {\bruch{1}{x^2 + 2x + 1 + 3} dx}$
[/mm]
$= \ [mm] \integral_{}^{} {\bruch{1}{(x+1)^2 + 3} dx}$
[/mm]
$= \ [mm] \integral_{}^{} {\bruch{1}{3 * \left[ \left( \bruch{x+1}{\wurzel{3}}\right)^2 + 1 \right]} dx}$
[/mm]
$= \ [mm] \bruch{1}{3} [/mm] * [mm] \integral_{}^{} {\bruch{1}{\left(\bruch{x+1}{\wurzel{3}}\right)^2 + 1} dx}$
[/mm]
Zudem gilt: [mm] $\left[ \ \arctan(z) \ \right]' [/mm] \ = \ [mm] \bruch{1}{z^2 + 1}$
[/mm]
Kommst Du nun alleine weiter (Stichwort: Substitution)?
Loddar
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:27 Mo 21.02.2005 | | Autor: | Umbra |
Also ich habe das ganze mal soweit alles aufgelöst und erhalte:
[mm] \bruch{ x^{4}+3 x^{4}+9 x^{2}+8x+4}{ x^{3}+3 x^{2}+6x+4}
[/mm]
Mittels Partialbruchzerlegung
=
[mm] \integral_{}^{} [/mm] {x dx}+ [mm] \integral_{}^{} [/mm] { [mm] \bruch{1}{x+1} [/mm] dx} + [mm] \integral_{}^{} [/mm] { [mm] \bruch{2x}{x^{2}+2x+4} [/mm] dx}
Mittels Partieller Integration + Substitution
=
[mm] \integral_{}^{} [/mm] {x dx}+ [mm] \integral_{}^{} [/mm] { [mm] \bruch{1}{x+1} [/mm] dx} +
2* x * [mm] \bruch{ \wurzel{3}}{3}* arctan(\bruch{x+1}{ \wurzel{3}}) [/mm]
- [mm] \integral_{}^{} {arctan(\bruch{x+1}{ \wurzel{3}}) dx}
[/mm]
Werde mal im Bronstein nachschauen wegen dem arctan Integral.
Ist das der einzige Weg zur Lösung oder gibt es da nicht einen "Trick" ne Standartsubstituion oder so, die einem hier "schneller" weiterhilft.
Das ganze war ja eine Klausuraufgabe für 2 Punkte von 40.
Also, wenn ich sowas sehe lasse ich das doch lieber glatt liegen, und versuche da eher die anderen Aufgaben zu bearbeiten.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:59 Mo 21.02.2005 | | Autor: | moudi |
Hallo Martin
Ich würde den Bruch ein bisschne anders zerlegen (ohne partielle Integration!).
[mm] $\frac{x^4+3x^3+9x^2+8x+4}{x^3+3x^2+6x+4}=x+\frac{1}{x+1}+\frac{2x}{x^2+2x+4}= x+\frac{1}{x+1}+\frac{2x+2}{x^2+2x+4}+\frac{-2}{x^2+2x+4}$
[/mm]
Man erreicht dadurch, dass die ersten drei Summanden sich leicht integrieren lassen, denn für die Brüche [mm] $\frac{1}{x+1}$ [/mm] und [mm] $\frac{2x+2}{x^2+2x+4}$ [/mm] gilt, dass im Zähler die Ableitung des Nenners steht und mittels [mm] $\int\frac{f'(x)}{f(x)}\,dx=\ln(|f(x)|)$ [/mm] lassen sich die Integrale leicht angeben.
Bleibt noch [mm] $\int\frac{-2}{x^2+2x+4}$ [/mm] zu bestimmen.
Umformen führt zu [mm] $\int\frac{-2}{x^2+2x+4}=\frac{-2}{(x+1)^2+3}= \frac{-2}{3}\,\frac{1}{\left(\frac{x+1}{\sqrt3}\right)^2+1}$
[/mm]
Es gilt [mm] $\int \frac{1}{\left(\frac{x+1}{\sqrt3}\right)^2+1}\,dx=\sqrt3\cdot\arctan(\frac{x+1}{\sqrt3})$
[/mm]
mfG Moudi
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:47 Mo 21.02.2005 | | Autor: | Umbra |
Ja, genau sowas habe ich gesucht!!!
Danke, an alle die mir damit geholfen haben.
Das ganze hat mein Verständis doch gut gefördert.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:42 Mo 21.02.2005 | | Autor: | Paulus |
Hallo Martin
und nachdem du die Korrektur vorgenommen hast und erfolgreich die Polynomdivision durchgeführt hast, brauchst du nur noch die Partialbruchzerlegung zu machen. Dazu ist es hilfreich, sich zu überlegen, dass der Nenner so geschrieben werden kann:
[mm] $x^3+3 x^2+6x+4=(x+1)(x^2+2x+4)$
[/mm]
Mit lieben Grüssen
Paul
|
|
|
|
