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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 08:15 Mo 04.06.2012 | | Autor: | racy90 |
Hallo ich hab wiedermal ein Problem mit dem festlegen des Integrationsbereichs.
D soll das Dreieck begrenzt durch die Geraden y=1-x ,y=2x ,y=1+x
die Eckpunkte sind ja dann (0,1),(1,2) und (1/3 ,2/3) aber komme ich nun auf den Integrationsbereich?
Danke schon mal
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:21 Mo 04.06.2012 | | Autor: | fred97 |
> Hallo ich hab wiedermal ein Problem mit dem festlegen des
> Integrationsbereichs.
>
> D soll das Dreieck begrenzt durch die Geraden y=1-x ,y=2x
> ,y=1+x
>
> die Eckpunkte sind ja dann (0,1),(1,2) und (1/3 ,2/3) aber
> komme ich nun auf den Integrationsbereich?
Wo ist das Problem ? Du hast doch das Dreieck ! Es ist die konvexe Hülle der Punkte (0,1),(1,2) und (1/3 ,2/3).
FRED
>
> Danke schon mal
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 08:55 Mo 04.06.2012 | | Autor: | racy90 |
Aber für ein doppelintegral benötige ich 4 Grenzen ,2 untere und 2 obere aber von meinen Dreieck habe ich ja 6koordinaten.Das verwirrt mich etwas,welche ich nun nehmen soll.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 09:16 Mo 04.06.2012 | | Autor: | notinX |
Hallo,
> Aber für ein doppelintegral benötige ich 4 Grenzen ,2
> untere und 2 obere aber von meinen Dreieck habe ich ja
> 6koordinaten.Das verwirrt mich etwas,welche ich nun nehmen
> soll.
eigentlich brauchst Du jweils eine Rechte, Linke, Obere und Untere. Am besten machst Du eine Zeichnung und teilst das Integral in zwei Teilbereiche auf. Das erste vom linken Eckpunkt bis zum Schnittpunkt der unteren beiden Geraden und das zweite von dort bis zum rechten Eckpunkt.
Gruß,
notinX
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:03 Mo 04.06.2012 | | Autor: | racy90 |
das Integral lautet so : [mm] \integral_{}^{}{}\integral_{D}^{}{2x dxdy}
[/mm]
und meine Eckpunkte vom Dreieck mit (0,1) ; (1,2);(1/3,2/3)
dann komme ich für das äußere Integral auf die Grenzen von 2/3 und 2 weil ja der Integrationsbereich im y Bereich durch den Punkt 2/3 und 2 begrenzt wird.
und das Innere Integral verläuft von 0 bis 1 weil der Integrationsbereich im x Bereich durch die Punkte 0 und 1 begrenzt wird
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Das äußere Integral über [mm]y[/mm] stimmt, das innere nicht. Würdest du für das innere Integral über das gesamte Intervall [mm]x \in [0,1][/mm] integrieren, so würdest insgesamt über das gesamte Rechteck mit den Ecken [mm](0,\frac{2}{3}), (1,\frac{2}{3}), (1,2), (0,2)[/mm] integrieren. Du mußt daher die Grenzen des inneren Integrals von [mm]y[/mm] abhängig machen. Da die untere Grenze aber nicht mit einheitlichem Term von y abhängt, mußt du zusätzlich noch eine Fallunterscheidung für das äußere Integral machen: [mm]y \in [ \frac{2}{3},1][/mm] oder [mm]y \in [1,2][/mm].
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:31 Mo 04.06.2012 | | Autor: | racy90 |
Das verstehe ich nicht,ich hätte gedacht die Grenzen meines äußeren Integrals sind richtig wieso muss ich dann eine Fallunterscheidung machen??
Wo setze ich nun meine Grenzen ein damit diese auch für das innere Integral stimmen?
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Das ist kein Widerspruch. Die Grenzen sind richtig. Da es aber mit dem inneren Integral unterschiedlich weitergeht, muß man für das äußere Integral eben doch eine Fallunterscheidung durchführen. Und
[mm][\frac{2}{3},1] \cup [1,2] = [\frac{2}{3},2][/mm]
zeigt ja, daß das kein Widerspruch ist.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:44 Mo 04.06.2012 | | Autor: | racy90 |
Aber wie soll ich mir aus dem meine Grenzen für das innere Integral herauslesen können bzw verstehe ich nicht warum ich nicht so vorgehen darf wie beim äußeren Integral,ist ja eingentlich dasselbe Prinzip
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Schau dir die Euklid-Datei im Anhang an. Durch Ziehen am blauen Punkt siehst du, wie sich das [mm]x[/mm]-Intervall in Abhängigkeit von [mm]y[/mm] ändert.
Zum Öffnen verwende ![[]](/images/popup.gif) Euklid.
![[a]](/images/paperclip.gif "Dateianhänge") Datei-Anhang
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: geo) [nicht öffentlich]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:01 Mo 04.06.2012 | | Autor: | racy90 |
okay danke für deinen Mühen aber dadurch ist es mir auch nicht klar geworden wie meine inneren Grenzen auszusehen haben.
Kann man das nicht berechnen?
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[mm]\int_{\frac{2}{3}}^1 \int_{a_1(y)}^{b_1(y)} 2x ~ \mathrm{d}x ~ \mathrm{d}y \ + \ \int_1^2 \int_{a_2(y)}^{b_2(y)} 2x ~ \mathrm{d}x ~ \mathrm{d}y[/mm]
Natürlich kann man das berechnen. Das ist aber nicht meine Aufgabe. Du mußt jetzt Terme [mm]a_1(y),b_1(y)[/mm] finden, die dir die untere und obere [mm]x[/mm]-Grenze aus [mm]y[/mm] berechnen (entsprechend beim zweiten Integral). An der Euklid-Datei kannst du überprüfen, ob du richtig gerechnet hast. Für jedes [mm]y[/mm] müssen die dort angezeigten [mm]x[/mm]-Grenzen herauskommen.
So schwer ist das nicht. Du mußt doch nur lineare Funktionen richtig auflösen ...
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:27 Mo 04.06.2012 | | Autor: | racy90 |
Welche von meinen 3 Funktionen soll ich wie auflösen? Ich verstehe das einfach nicht :/
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Du siehst doch in der Euklid-Datei, welche die richtige Funktion ist.
Beispiel: Wenn du [mm]y[/mm] auf 0,8 setzt, wird die untere Grenze [mm]a_1(0{,}8) = 0{,}2[/mm], der entsprechende Punkt liegt auf der Geraden [mm]y = 1-x[/mm]. Und du siehst, das paßt: Zu [mm]y = 0{,}8[/mm] gehört [mm]x = 0{,}2[/mm]. Und jetzt halt allgemein. Welches [mm]x[/mm] (in Abhängigkeit von [mm]y[/mm] ausgedrückt) gehört zu [mm]y[/mm]. Und analog machst du das für die obere Grenze [mm]b_1(y)[/mm].
Und dann dasselbe für das zweite Integral. Die Euklid-Datei zeigt übrigens, warum man diese Fallunterscheidung durchführen muß.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:56 Mo 04.06.2012 | | Autor: | racy90 |
oaky das heißt y=1-x muss ich nach x umstellen -y+1=x und für die obere Grenze gilt y=2x wenn ich diese wieder nach x umstelle komme ich auf y/2=x
Stimmen nun endlich die Grenzen?
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Ja, fürs erste Integral. Jetzt das zweite.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:02 Mo 04.06.2012 | | Autor: | racy90 |
Aber das Programm zeigt mir ja nur für das erste Integral die Grenzen an?
Wie kann ich das händisch berechnen?
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Das funktioniert auch für das zweite Integral:
[mm]\ldots + \int_1^2 \int_{a_2(y)}^{b_2(y)} 2x ~ \mathrm{d}x ~ \mathrm{d}y[/mm]
Und es zeigt dir, welche Geraden zur Bestimmung der Grenzen zuständig sind.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:13 Mo 04.06.2012 | | Autor: | racy90 |
dann habe ich ja dieselben Grenzen nochmal?
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[mm]b_2(y)[/mm] ja, aber nicht [mm]a_2(y)[/mm].
Wie oft noch! Schau in die Euklid-Datei oder auf deine eigene Skizze. Da siehst du das doch!
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:36 Mo 04.06.2012 | | Autor: | racy90 |
dann müsste es y-1=x sein weil wenn ich x=1 setze kommt y=2 heraus was auch stimmt
ich hoffe das stimmt nun endlich
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[mm]x = a_2(y) = y-1[/mm] ist richtig.
Mach dir noch einmal klar, warum man hier um eine Fallunterscheidung (Intervallaufteilung) nicht herumkommt.
Und was bekommst du schließlich für das Doppelintegral für einen Wert?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:13 Mo 04.06.2012 | | Autor: | racy90 |
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8/27 ist mein Wert
Könntest du mir noch kurz bei der einen Aufgabe helfen mit der Max Funktion,wo du gesagt hast das mein Wert nicht stimmt
ich habe zuerst das innere Integral aufgespalten $ \integral_{0}^{1}{x max(x,y) \ dx= \integral_{0}^{y}{x max(x,y) \ dx+\integral_{y}^{1}{x max(x,y) \ dx $ und habe es ausgerechnet und komme auf 1/2
1/2 ist also mein max(x,y)
und nun kann ich ja in die eingentliche Funtktion einsetzen
\integral_{0}^{1}{ dx}\integral_{0}^{1}{x*1/2 dxdy} =1/4
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8/27 stimmt.
Es wäre eine nützliche Übung für dich, die Aufgabe noch einmal zu lösen, indem du außen zuerst über [mm]x[/mm] und innen über [mm]y[/mm] integrierst, die Integrationsreihenfolge also vertauschst. Und hoffentlich kommt dann wieder 8/27 heraus ...
Die andere Aufgabe sollte im anderen Strang weiterbehandelt werden. Ich werde dort antworten.
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