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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:37 Do 27.01.2011 | | Autor: | emil11 |
| Aufgabe | | Sei [mm] $f\in\mathcal{L}^1(\IR)$. [/mm] Zeigen Sie, dass [mm] $\int [/mm] f(x) dx = [mm] \int f(x-\frac{1}{x}) [/mm] dx.$ |
Hallo,
Ich stehe auf dem Schlauch. Hat jemand eine Beweisidee?
mfg emil
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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> Sei [mm]f\in\mathcal{L}^1(\IR)[/mm]. Zeigen Sie, dass [mm]\int f(x) dx = \int f(x-\frac{1}{x}) dx.[/mm]
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> Hallo,
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> Ich stehe auf dem Schlauch. Hat jemand eine Beweisidee?
>
> mfg emil
Guten Abend,
was ist denn mit [mm]\mathcal{L}^1(\IR)[/mm] überhaupt gemeint ?
und sind bei den Integralen wirklich keine Grenzen angegeben ?
LG Al-Ch.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:36 Fr 28.01.2011 | | Autor: | emil11 |
Oh Verzeihung, hatte die Mitteilung übersehen.
Also, [mm] $\mathcal{L}^1(\IR) [/mm] ist der Banachraum aller 1-Lebesgueintegrierbaren Funktionen, also meßbare Funktionen [mm] $f\colon\IR\rightarrow\IR$ [/mm] so dass [mm] $\integral_{\IR}\left|f(x)\right|^1d\lambda(x)<\infty, [/mm] $ wobei [mm] $\lambda$ [/mm] das Lesguemaß in [mm] $\IR$ [/mm] bezeichnet. Es sind keine Grenzen angegeben, weil über ganz [mm] $\IR$ [/mm] integriert werden soll, beide Integrale existieren und sind endlich, da [mm] $f\in\mathcal{L}^1(\IR).$
[/mm]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:51 Fr 28.01.2011 | | Autor: | Gonozal_IX |
Huhu,
dann schreib doch hin, dass über ganz [mm] \IR [/mm] integriert werden soll..... du sollst also zeigen, dass gilt:
$ [mm] \int_\IR [/mm] f(x) [mm] \;\lambda(dx) [/mm] = [mm] \int_\IR f(x-\frac{1}{x}) \lambda(dx) [/mm] $
Korrekt?
MFG,
Gono.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:53 Fr 28.01.2011 | | Autor: | emil11 |
deine Notation unterscheidet sich leicht von meiner, aber ich denke du meinst dasselbe. Es handelt sich um ein stino-Lebesgueintegral.
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> Oh Verzeihung, hatte die Mitteilung übersehen.
> Also, [mm]$\mathcal{L}^1(\IR)[/mm] ist der Banachraum aller
> 1-Lebesgueintegrierbaren Funktionen,
so was von der Art hatte ich mir gedacht ...
> also meßbare
> Funktionen [mm]$f\colon\IR\rightarrow\IR$[/mm] so dass
> [mm]$\integral_{\IR}\left|f(x)\right|^1d\lambda(x)<\infty,[/mm] $
> wobei [mm]$\lambda$[/mm] das Lesguemaß in [mm]$\IR$[/mm] bezeichnet. Es sind
> keine Grenzen angegeben, weil über ganz [mm]$\IR$[/mm] integriert
> werden soll, beide Integrale existieren und sind endlich,
> da [mm]$f\in\mathcal{L}^1(\IR).$[/mm]
Ich finde, dass man diese offenbar doch als bestimmte
Integrale gedachten Integrale trotzdem nicht einfach
"nackt", also ohne jegliche Angabe der Grenzen, stehen
lassen darf.
Will man nicht [mm] \integral_{-\infty}^{\infty} [/mm] schreiben, so doch eben [mm] \integral_{\IR} [/mm] !
Zur eigentlichen Aufgabe habe ich mir jetzt noch nichts
weiter überlegt.
LG Al-Chw.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:51 Fr 28.01.2011 | | Autor: | emil11 |
Okay, ich gebe zu, dass es leicht unpräzise war, ich habe aber lediglich wie gefordert die Aufgabenstellung 1:1 widergegeben.
Nachdem nun also alle Unklarheiten beseitigt sein sollten, bin ich mal gespannt, ob etwas zur eigentlich Aufgabe kommt.
Gruß, e.
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Huhu,
ich würde hier aufs "Standardrezept" für sowas zurückgreifen
1.) f Indikatorfunktion
2.) f einfache Funktion
3.) f nichtnegativ
4.) f meßbar
Der schwerwiegende Teil der Aufgabe besteht dann sicherlich bei den Indikatorfunktionen zu zeigen, dass gilt:
[mm] $\integral_{\IR}1_A(x)\,d\lambda [/mm] = [mm] \integral_{\IR}1_A(x [/mm] - [mm] \bruch{1}{x})\,d\lambda [/mm] = [mm] \integral_{\IR}1_{A'}(x)\,d\lambda$
[/mm]
Der Clou ist jetzt also zu zeigen, dass
[mm] $\lambda(A) [/mm] = [mm] \lambda(A') [/mm] $
D.h.
[mm] $\lambda(A) =\lambda\left(\{x \in \IR\;|\; x \in A\}\right) [/mm] = [mm] \lambda\left(\{x \in \IR\;|\; x-\bruch{1}{x}\in A\}\right) [/mm] = [mm] \lambda(A')$
[/mm]
das die Mengen also, etwas salopp gesagt, "gleich groß" sind.
MFG,
Gono.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 02:52 Sa 29.01.2011 | | Autor: | emil11 |
Klar, so sollte es funktionieren,
Die Aussage gilt übrigens wie man leicht prüft für kompakte oder endliche offene Intervalle, mit der inneren/äußeren Regularität des Lebesguemaßes erschlägt man diesen Punkt also. Dann die meßbare Funktion wie von dir beschrieben approximieren, zur Not auf [mm] $\left[-N,N\right].$ [/mm]
vielen Dank!
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