Integrationsgrenzen vertausche < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:20 Di 24.11.2009 | | Autor: | babapapa |
| Aufgabe | Man vertausche die Integrationsreihenfolge beim Integral
[mm] \integral_{0}^{1}{ \integral_{\bruch{y^2}{2}}^{\sqrt{3-y^2}}{xy^2 dx} dy}
[/mm]
und berechne den Wert |
Hallo!
Ich habe hier im Forum bereits einen guten Hinweis gefunden:
https://matheraum.de/forum/Integrationsreihenfolge/t397931
Aus
[mm] \integral_{0}^{1}{ \integral_{\bruch{y^2}{2}}^{\sqrt{3-y^2}}{xy^2 dx} dy}
[/mm]
wird nun (edit: integrationsgrenzen müssen natürlich neu berechnet werden - ansatz gemäß dem obigen forenpost)
[mm] \integral_{0}^{1}{ \integral_{\bruch{y^2}{2}}^{\sqrt{3-y^2}}{xy^2 dy} dx}
[/mm]
Jedoch bin ich mir nicht sicher bei dem was ich hier getan habe.
Ich weiß:
(1) 0 [mm] \le [/mm] y [mm] \le [/mm] 1
(2) [mm] \bruch{y^2}{2} \le [/mm] y [mm] \le \sqrt{3-y^2}
[/mm]
aus (2) folgt
[mm] \bruch{y^2}{2} \le [/mm] y
und
y [mm] \le \sqrt{3-y^2}
[/mm]
Umstellen nach y:
y [mm] \le \sqrt{2x}
[/mm]
[mm] \sqrt{3-x^2} \le [/mm] y
es gilt nun also:
[mm] \sqrt{3-x^2} \le [/mm] y [mm] \le \sqrt{2x}
[/mm]
Bisher ist noch alles klar.
nun aber die anwendung der beliebigen funktionen [mm] \phi_1 [/mm] (x) und [mm] \phi_2(x)
[/mm]
[mm] \phi_1(x) [/mm] = [mm] \sqrt{3-x^2} \le \phi_2(x) \sqrt{2x}
[/mm]
[mm] \sqrt{2x} [/mm] - [mm] \sqrt{3-x^2} \ge [/mm] 0
=> x > 1
und genau an diesem Punkt stehe ich an :)
das Integrieren an sich sollte kein Problem mehr darstellen.
Vielen Dank für jeden Tipp.
lg
Babapapa
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:35 Di 24.11.2009 | | Autor: | Merle23 |
> Man vertausche die Integrationsreihenfolge beim Integral
> [mm]\integral_{0}^{1}{ \integral_{\bruch{y^2}{2}}^{\sqrt{3-y^2}}{xy^2 dx} dy}[/mm]
>
> und berechne den Wert
> Hallo!
>
> Ich habe hier im Forum bereits einen guten Hinweis
> gefunden:
> https://matheraum.de/forum/Integrationsreihenfolge/t397931
>
>
> Aus
> [mm]\integral_{0}^{1}{ \integral_{\bruch{y^2}{2}}^{\sqrt{3-y^2}}{xy^2 dx} dy}[/mm]
>
> wird nun
> [mm]\integral_{0}^{1}{ \integral_{\bruch{y^2}{2}}^{\sqrt{3-y^2}}{xy^2 dy} dx}[/mm]
>
Nein, wird es nicht!
Versuche es nochmal.
> Jedoch bin ich mir nicht sicher bei dem was ich hier getan
> habe.
>
> Ich weiß:
>
> (1) 0 [mm]\le[/mm] y [mm]\le[/mm] 1
> (2) [mm]\bruch{y^2}{2} \le[/mm] y [mm]\le \sqrt{3-y^2}[/mm]
>
> aus (2) folgt
> [mm]\bruch{y^2}{2} \le[/mm] y
> und
> y [mm]\le \sqrt{3-y^2}[/mm]
>
> Umstellen nach y:
>
> y [mm]\le \sqrt{2x}[/mm]
> [mm]\sqrt{3-x^2} \le[/mm] y
>
> es gilt nun also:
> [mm]\sqrt{3-x^2} \le[/mm] y [mm]\le \sqrt{2x}[/mm]
>
> Bisher ist noch alles klar.
>
> nun aber die anwendung der beliebigen funktionen [mm]\phi_1[/mm] (x)
> und [mm]\phi_2(x)[/mm]
>
> [mm]\phi_1(x)[/mm] = [mm]\sqrt{3-x^2} \le \phi_2(x) \sqrt{2x}[/mm]
>
> [mm]\sqrt{2x}[/mm] - [mm]\sqrt{3-x^2} \ge[/mm] 0
> => x > 1
>
Ich habe absolut keine Ahnung was du da oben machen willst.
> und genau an diesem Punkt stehe ich an :)
>
> das Integrieren an sich sollte kein Problem mehr
> darstellen.
>
> Vielen Dank für jeden Tipp.
>
> lg
> Babapapa
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:58 Di 24.11.2009 | | Autor: | babapapa |
Nun außer dass ich die neuen Integrationsgrenzen berechnen will, habe ich nichts vor. Aber irgendwie hättest du mir einen Tipp machen können was ich anders machen soll. Mit so einer Antwort kann ich nämlich, und wahrscheinlich auch der Rest, der nach eine solchen Lösung sucht, nichts anfangen. Danke.
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Edit: Hier stand groebr Schwachfug ...
![[sorry]](/images/smileys/sorry.gif "[sorry]")
schachuzipus
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Hallo babapapa,
> Nun außer dass ich die neuen Integrationsgrenzen berechnen
> will, habe ich nichts vor. Aber irgendwie hättest du mir
> einen Tipp machen können was ich anders machen soll. Mit
> so einer Antwort kann ich nämlich, und wahrscheinlich auch
> der Rest, der nach eine solchen Lösung sucht, nichts
> anfangen. Danke.
Mache Dir am besten eine Skizze.
Gruss
MathePower
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